Определение параметров. Коефіцієнт регресії.

Если мы приняли гипотезу про линейную форму связи межу признаками Х и Y, то однозначно выбрать параметры , которые есть точечными статистическими оцен­ками соответственно для параметров β0, β1, практически невозможно. Действи­тельно, через корреляционное поле (рис.1) можно провести множество прямых. по­этому необходимо выбрать такой критерий, по которому можно совершить выбор парамет­ров .

На практике чаще всего параметры определяют по методу наименьших квад­ратов (разработка метода принадлежит К.Гауссу и П.Лапласу).

Согласно этому методу уравнение парной линейной регрессии уі = β0 + β1хі необхо­димо выбрать так, чтобы сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от линии регрессии была бы минимальной (рис.2).

у

уі 𝜀і
 
 

 


уі β0 + β1хі

                   
   
 
   
     
 
 
   
 
   
 
 

 


0 хі х

Рис.2

 Через корреляционное поле прове­дена линия регрессии уі = β0 + β1хі. Откло­нение любой точки с координатами (хі; уі) составляет 𝜀і : 𝜀і = уі – (β0 + β1хі) (4) уі – наблюдаемое значение признака Y, которое получили в результате реализации выборки; β0 + β1хі - значение признака Y, вычисленное при условии, что Х = хі.   Как видим, величина 𝜀і является функ­цией от параметров .

Функция от этих параметров и будет обобщающим показателем рассеиванья то­чек вокруг прямой, а именно:

. (5)

Отсюда есть смысл взять критерий, согласно которому параметры необхо­димо выбирать так, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной:

= min. (6)

Обозначим, (7)

И рассмотрим необходимое условие существования минимума функции :

(8)

Получим линейное уравнение относительно параметров :

:(-2)

 

:n

 

Т.к. – среднее арифметическое Х;

– среднее арифметическое Y;

– средне квадратическое отклонение Х;

= - ; – эмпирический корреляционный момент;

(9)

Решим систему (9) относительно параметров , найдём:

(10)

(11)

Умножив левую и правую части равенства (11) на , получим:

(12)

Где – парный коэффициент корреляции между признаками Х и Y. Тогда

(13)

С учётом (12) и (13) уравнение линейной парной регрессии примет вид:

(14)

или

, (15)

Где - коэффициент регрессии.

 

Контрольні запитання:

1. Як виглядає рівняння лінійної форми зв’язку та на які дві частини воно поділяється?

2. Що таке β0, β1 і, що таке ?

3. Що таке 𝜀і?

4. Як виглядає статистична оцінка рівняння лінійної форми зв’язку?

5. Який метод застосовують, щоб знайти ?

6. Як обчислюється ?

7. Як обчислюється ?

8. Що таке ?

9. Як знайти коефіцієнт регресії?