Числові ряди. Основні поняття та означення. Збіжність і сума ряду

ЛЕКЦІЯ 17: ЧИСЛОВІ РЯДИ

Стан економіки України на момент проголошення незалежності

Розпад СРСР був зафіксований 1 грудня 1991 р. Але першим кроком до незалежної (і політично, і економічно) держави — України було проголошення «Декларації про державний сувере­нітет України» (16 липня 1990 р.) та прийняття «Акту проголо­шення незалежності України» (24 серпня 1991 р.). Проголошення незалежності України означало створення цілком іншої політич­ної й соціально-економічної ситуації. Власне, за роки існування союзного народногосподарського комплексу було практично вичерпано продуктивний потенціал Донбасу, багаторічні проблеми якого (технологічна застарілість, моральна й матеріальна зношеність, ускладненість умов видобут­ку вугілля, соціальні проблеми) виявилися проблемами винятко­во України. Отже, українська економіка впродовж багатьох років виконува­ла функції сировинного придатку, продукція, що тут вироблялася для кінцевого споживання, не перевищувала третини загального виробництва в республіці. Союзний уряд, особливо у 1970—1980-х роках постійно обмежував капітальні вкладення, необхідні для ефективного функціонування економіки республіки, відбува­лося невпинне «старіння» основних фондів, знижувався коефіцієнт їх придатності, що стало дуже гострою проблемою української економіки, особливо за умов розбудови незалежної держави. Величезні структурні диспропорції, що сформувалися в україн­ській економіці, призвели до катастрофічних наслідків в екології, до втрат природних і людських ресурсів. Отже, економіка країни потребувала глибокої й докорінної перебудови, здійснення швидких, радикальних перетворень, спря­мованих на заміну існуючої економічної системи іншою з метою забезпечення її ефективного функціонування.

Числовий ряд – це узагальнення поняття суми, коли підсумовування ведеться до нескінченності. Але така нескінченна сума має сенс, коли сумуються не будь-які числа, а тільки ті, що складають числову послідовність.

Нехай - деяка числова послідовність. Позначимо її , де змінюється від 1 до . Нескінченна сума, елементи послідовності якої сумуються, називається числовим рядом, елементи послідовності (дійсні або комплексні) – членами ряду.

Нескінчена сума позначається символом

. (14.1)

З послідовності можна скласти нову послідовність, де .

Сума перших елементів називається -ю частинною сумою ряду:

. (14.2)

Якщо існує скінчена границя послідовності частинних сум ряду (14.1), то він називається збіжним, а значення цієї границі – сумою ряду:

. (14.3)

Якщо границя послідовності є нескінченною або взагалі не існує, то ряд називається розбіжним.

Сума останніх членів ряду, починаючи з деякого і до нескінченності, називається залишком ряду -ого порядку:

. (14.4)

Приклад 1. Геометрична прогресія. Нескінченні ряди розглядались і в елементарній математиці. Найяскравішим прикладом є нескінченна геометрична прогресія

. (14.5)

Знайдемо вираз частинної суми . За означенням

Звідки . Приходимо до формули

. (14.6)

Нескінчена геометрична прогресія збігається тільки у тому разі, коли . Тоді при маємо, що , і

. (14.7)