Правила знаходження визначених інтегралів

1. Формула Ньютона-Лейбніца:

,

де - первісна для , тобто .

2. Інтегрування частинами:

де нескінченно диференційовані функції на відрізку .

3. Заміна змінної:

,

де функція, неперервна разом з усією похідної на відрізку функція неперервна на .

4. Якщо непарна функція, тобто , то

.

Якщо парна функція, тобто , то

.

Приклади 22. 1) Обчислити інтеграл як границю інтегральної суми.

Тут ; розділимо відрізок на п рівних частин, тоді виберемо . Маємо:

;

.

Отже,

.

Тут використана формула суми квадратів натуральних чисел.

2) Обчислити за формулою Ньютона-Лейбніца.

.

3) Оцінити інтеграл .

Оскільки , то при одержимо нерівність .

Отже,

, тобто .

4) Оцінити інтеграл .

Оскільки , маємо

та .

5) Обчислити .

Скористаємося методом інтегрування частинами. Покладемо , звідки . Тоді

.

6) Обчислити .

Покладемо ; тоді ; якщо , то ; якщо , то .

Отже,

.

7) Обчислити .

Покладемо ; тоді ; якщо , то ; якщо , то . Тому

.

8) Обчислити .

Підінтегральна функція – парна, а тому . Інтегруємо частинами, покладаючи ; тоді . Звідси знаходимо

.

Отже, .

9) Обчислити .

Підінтегральна функція – непарна, отже, .

10) Обчислити інтеграл

Маємо: . Тому
=.

11) Чи можна застосувати формулу Ньютона-Лейбніця до інтеграла ?

Ні, не можна. Якщо формально обчислювати цей інтеграл за формулою Ньютона-Лейбніця, то одержимо невірний результат. Дійсно,

.

Але підінтегральна функція і, значить, інтеграл не може дорівнювати від’ємному числу. Сенс полягає в тому, що підінтегральна функція має нескінчений розрив у точці x=4, що належить проміжку інтегрування. Значить, тут формула Ньютона-Лейбніця не може бути застосована.