Інтегрування частинами

Нехай - неперервно диференційовані функції від х. За властивістю диференціала

d(uv)=udv+vdu

або

udv= d(uv)-vdu.

Інтегруючи обидві частини цієї рівності, маємо

Ця формула має назву формули інтегрування частинами. Довільна стала у формулу не входить, оскільки вона присутня неявно у правій частині. За допомогою цієї формули знаходження інтеграла зводиться до знаходження іншого інтеграла ; її застосування доцільно в тих випадках, коли останній інтеграл або простіше вихідного, або йому подібний. При цьому за и береться така функція, що при диференціюванні спрощується, а за dv – та частина підінтегрального виразу, інтеграл від якої відомий або може бути знайдений.

Більша частина інтегралів, що обчислюються за допомогою інтегрування частинами, може бути розбита на три групи.

1. Інтеграли, підінтегральна функція яких містить як множник одну з таких функцій: ln x, arcsin x, arcos x, arctg x, arcctg x, ln , … при умові, що інша частина підінтегральної функції є похідною деякої функції. Інтегруючи частинами, в цьому випадку як функцію и беруть одну з вказаних вище функцій.

2. Інтеграли, підінтегральна функція яких є добутком многочлена Р_n(х) та де а – будь-яке число.

Тоді інтеграли обчислюють шляхом n-кратного застосування формули інтегрування частинами. При цьому кожного разу як функцію и беремо многочлен, ступінь якого після кожного інтегрування зменшується на одиницю.

3. Інтеграли типу ... Позначаючи будь-який з інтегралів цієї групи через І і роблячи двократне інтегрування частинами, складаємо для І рівняння першого порядку.

Приклади 4. Знайти інтеграли

1)

Покладемо u=ln x, dv=х⁵dx; тоді , Використовуючи формулу інтегрування частинами, одержуємо

2)

Нехай тоді , За формулою інтегрування частинами знаходимо

3)

Покладемо тоді Звідси

Застосуємо ще раз інтегрування частинами. Покладемо тоді Маємо

Якби вираз и та dv ми вибрали інакше, наприклад, то одержали б звідки

і прийшли б до інтеграла більш складного, ніж вихідний, тому що ступінь співмножника при тригонометричній функції підвищилася на одиницю.

4)

Покладемо тоді Застосовуємо формулу інтегрування частинами:

Ми домоглися зниження ступеня х на одиницю. Щоб знайти застосуємо ще раз інтегрування частинами. Покладемо тоді та

5)

Нехай тоді Отже,

Створюється враження, що інтегрування частинами не призвело до мети, тому що інтеграл не спростився. Спробуємо, однак, ще раз проінтегрувати частинами. Прийнявши звідки одержуємо

тобто

Застосувавши двічі операцію інтегрування частинами, ми в правій частині знову одержали вихідний інтеграл. Таким чином, приходимо до рівняння з невідомим інтегралом I . Із цього рівняння знаходимо

тобто

В остаточному результаті ми додали до знайденої первісної функції довільну сталу.