Матрица жесткости КЭ в местной системе осей координат

Матрица жесткости КЭ в местной системе осей координат [r]j’ устанавливает связь между единичными перемещениями и усилиями в узловых точках, для горизонтально расположенного элемента.

Как уже отмечалось, основная система МКЭ представляет собой совокупность отдельных стержней, которые соединяются между собой жестко или с помощью шарнира.

Следовательно, все многообразие КЭ можно свести к трем типам элементов:

 
 

а) элемент с двух сторон ограниченный жесткими узлами, такой элемент имеет шесть степеней свободы, т.е. неизвестными являются шесть возможных перемещений узловых точек элемента

 
 

б) элемент с одной стороны ограниченный жестким узлом, а с другой шарнирным, такой элемент имеет пять степеней свободы

г) элемент с двух сторон ограниченный шарнирными узлами, такой элемент имеет четыре степени свободы

 
 

Рассмотрим формирование матриц жесткости для показанных выше трех типов КЭ, в местной системе осей координат.

Для элемента с шестью степенями свободы (тип а) матрица жесткости будет иметь вид

 

[r]j’=

где r12’ - реактивное усилие в связи 1 от единичного перемещения связи 2 и т.д.

В блочном виде матрица [r]jэ будет иметь вид

 

[r]j’=

где rнк’ - блок реакций в связях, наложенных на начальный узел, от единичных перемещений связей, наложенных на конечный узел КЭ и т.д.

Численные значения реакций будем определять используя таблицы метода перемещений. Знак реакций будет положительным, если направление реакций совпадает с положительным направлением перемещений Vj.

 

 
 

1.Формирование матрицы жесткости для элемента с шестью степенями свободы (тип а)

 
 

Зададим последовательно единичные перемещения связям V1=1, V2=1...V6=1.

1) V1=1

В соответствие с законом Гука

Dl = Dl = V1 = 1, N =

 

 
 

2) V2=1

 

 
 

3) V3=1

 

и т.д. задаем V4 = 1, V5 = 1, V6 = 1

 

Расставляя реакции в соответствующие ячейки, получим матрицу жесткости для элемента с шестью степенями свободы

 

[r]j’ =

 

Запишем матрицы жесткости для двух других типов элементов, формируя их аналогично предыдущей.

2. Матрица жесткости для элемента с пятью степенями свободы (тип б) будет иметь вид

 

[r]j’ =

 

3. Матрица жесткости для элемента с четырьмя степенями свободы (тип в) запишется

 

[r]j’ =