Основные свойстваи применение функций Уолша

1. Система функций Уолша является полной ортонормированной системой на интервале [0,1], т.е. справедливо соотношение:

(17.10)

и может служить базисом для спектрального представления сигналов. Любую интегрируемую на интервале 0£х£1 функцию являющуюся математической моделью электрического сигнала, можно представить рядом Фурье по системе функций Уолша

(17.11)

где коэффициенты А(i) находятся по формулам

(17.12)

где - безразмерное время, нормированное к произвольному интервалу Т.

2. Функции Уолша, как и функции Радемахера, принимают только два значения: -1 и 1. Для любого m – wal²(m,x)=wal(0,x)=1.

3. Функции Уолша являются периодическими функциями с периодом равным 1.

4. Функции Уолша обладают свойством мультипликативности, перемножение любых двух функций Уолша является также функцией Уолша:

(17.13)

причем это свойство справедливо и относительно параметра q т.е.

(17.14)

5. Среднее значение функции Уолша wal(i,x), при i¹0 равно нулю.

6. Система функций Уолша является составной системой и сотоит из четных и нечетных функций, обозначаемых соответственно:

7. Относительная погрешность аппроксимации сигнала f(x) конечным числом функций Уолша определяется по формуле

(17.14)

где - энергия сигнала на единичном нормированном интервале.