Случайные векторы
Лекция № 13
Тема: | Распределение случайного вектора. Независимость случайных величин. Распределение функций от случайных величин |
Пожалуй, нет ни одной отрасли математики такой интересной, такой важной, как теория вероятностей. История ее открываеи чудеса, которых может достич математическая наука, и пределы, которые она не может преступить.
Э. Девис
Определение 13.1 | Случайным вектором со значениями в называется последовательность действительных случайных величин , , определенных на одном вероятностном пространстве . Величина , называетсяk–ой координатой вектора . |
Так как , здесь — –измеримая действительная функция, то , где — функция со значениями в с –измеримыми координатами. Эта функция отображает пространство в . Для каждого множества из положим
.
Для каждого борелевского множества из . Следовательно, определена вероятность .
Пусть
, .
Функция множеств является мерой, причем .
Определение 13.2 | Меру , определенную на –алгебре борелевских множеств называютраспределением случайного вектора . |
Определение 13.3 | Функцией распределения случайного вектора или совместной функцией распределения последовательности случайных величин называют функцию: . |
Подобно тому, как это было сделано в одномерном случае, для многомерных функций распределения можно установить свойства:
I) суть неубывающая функция по каждому аргументу;
II) — непрерывная слева функция по каждому аргументу;
III) , ;
IV) .
Как мы знаем, в одномерном случае перечисленные свойства являлись необходимыми и достаточными того, чтобы функция была функцией распределения некоторой случайной величины. В многомерном случае необходимо дополнительное условие — условие согласованности.
Введем в рассмотрение конечно–разностный оператор , действующий на функцию следующим образом:
, .
Теорема 13.1. | Пусть , , — произвольная функция, удовлетворяющая условиям I, II, III,IV а также V) для любых , тогда существует вероятностное пространство и случайная вектор на нем такой, что функция распределения равна . |
Пример 13.1. Покажем, что требование V может быть не выполнено, несмотря на наличием у функции свойств I–IV. Пусть
Не трудно видеть, что эта функция удовлетворяет условиям I–IV, но для нее
И, следовательно, пятое требование не выполнено.