Приближенное вычисление определенного интеграла методом Симпсона.

Формула прямоугольников.

Пусть на отрезке задана непрерывная функция y=f . Требуется вычислить определенный интеграл .Разделим отрезок точками а=x012,….,хn=b на n равных малых сегментов длины :

Обозначим далее через y0,y1,y2,…yn-1,ynзначения функции f в точках x012,….,хn, т.е.

Составим суммы: y0 x+y1 x+…+yn-1 x, Y1 x+y2 x+…yn x.

Каждая из этих сумм является интегральной суммой для f на отрезке и поэтому приближенно выражает интеграл

 

 

 

Это и есть формулы прямоугольников. Если f -положительная и возрастающая функция, то формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, а формула -площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников.

Ошибка, совершаемая при вычислении интеграла по формуле прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число n.

 

 

2.Формула трапеций.

Пусть требуется вычислить определенный интеграл I= .Разобьем сегмент интегрирования на n равных малых сегментов точками деления . Кроме того, положим . Длина каждого малого сегмента равна h=(b-a)/n.Через точки деления проведем прямые, параллельные оси Оу. Пусть они пересекают кривую в точках Заменим кривую y=f(x) вписанной в нее ломаной , соединив концы смежных ординат прямыми линиями.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху построенной ломаной, даст приближенное значение интеграла I= .

Эта площадь равна сумме площадей прямолинейных трапеций, ограниченных сверху звеньями ломаной. Основаниями каждой трапеции служат ординаты смежных точек деления , а высотой- малый сегмент , длина которого h=(b-a)/n. Поэтому площадь такой трапеции равна h( )/2, где , а .

Следовательно, площадь фигуры, ограниченной сверху ломаной линией, есть:

, где h= .

Таким образом, имеем приближенную формулу

, которая называется формулой трапеции.

 

 

Для приближенного вычисления интеграла чаще всего заменяют подынтегральную функцию «близкой» ей вспомогательной функцией, интеграл от которой вычисляется аналитически.

Если при вычислении подынтегральную функцию заменить интерполяционным многочленом второй степени, построенным по значениям функции в трех точках a, то получится так называемая простая квадратурная формула Симпсона:

где R-остаточный член. Если f////(х) непрерывна на [a,b], тоR= - , где

 

Для повышения точности интегрирования применяют составную формулу Симпсона. Для этого отрезок [a,b] разбивают на четное n=2m число отрезков длины h= . После применения простой формулы к каждому отрезку получаем составную формулу Симпсона:

 

Если f////(х) непрерывна на отрезке [a,b], то R где

 

 

Вопросы для самоконтроля:

 

1.В каких случаях применяются формулы приближенного вычисления определенных интегралов?

2.Запишите формулу прямоугольников.

3.Запишите формулу трапеций.

4.Запишите формулу Симпсона.

5.Запишите перечисленные формулы для n=6.

 

Задачи для самостоятельного решения:

Используя таблицу из типовой задачи вычислите интеграл для n=2 по формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона.

Решение типовой задачи:

Вычислить приближенно

Решение: Разделим отрезок [1;2] на 10 равных частей. Полагая, составим таблицу значений подынтегральной функции:

 

Х У= х У=
Х0=1,0 У0=1,00000 Х6=1,6 У6=0,62500
Х1=1,1 У1=0,90909 Х7=1,7 У7=0,58824
Х2=1,2 У2=0,83333 Х8=1,8 У8=0,55556
Х3=1,3 У3=0,76923 Х9=1,9 У9=0,52632
Х4=1,4 У4=0,71429 Х10=2 У10=0,50000
Х5=1,5 у5=0,66667    

 

1.По первой формуле прямоугольников (1) получим:

0,1(у01+…+у9)=0,1 7,18773=0,71877.

По второй формуле прямоугольников(1/) получим:

0,1(у12+…+у10)=0,1 6,68773=0,66877.

Первая формула дает значение интеграла с избытком, а вторая с недостатком.

 

2.По формуле трапеций получим:

0,1( +6,18773)=0,69377.

3.По формуле Симпсона имеем:

010+2(у24468)+4(у13579))=0,69315.

 

В действительности ln2=0,6931472 с точностью до седьмого знака. Таким образом, при разбиении отрезка [0,1] на 10 частей по формуле Симпсона мы получили пять верных знаков; по формуле трапеций – лишь три верных знака; по формуле прямоугольников мы можем ручаться только за первый знак.