5. Видача завдань для самостійної роботи студентів

Викладач: Богомазова Е.В.

1. Подання чисел із плаваючою комою.

Воно ґрунтується на зображенні чисел у напівлогарифмічній формі А = ± р, ± М, що відповідає запису чисел у нормальній формі, A = d · (± М) , где р — целое число, называемое порядком числа А; d — основание системы счисления; М — мантисса числа А (обычно ‌ М ‌ <1).

Фактично положення занятой у мантисі М визначається величиною порядку р. Зі зміною р у більшу або меншу сторону кома відповідно переміщається вліво або вправо, тобто «плаває» у зображенні числа.

Приклад. Представити у формі із плаваючої коми числа (158)10 і (101101)2.

Рішення. 1. (158)10 = 10³ ּ0,158== 104•0,0158= 10⁴ ּ 0,00158.

2. (101101)2=2?¹º • 0,101101=2??? • 0,0101101=2???? • 0,00101101.

В ЕОМ із плаваючої коми можливе переповнення розрядної сітки, так само як н у машині з фіксованої коми. Наприклад, переповнення може виникнути при додаванні нормалізованих чисел з однаковими порядками. У цьому випадку з'являється одиниця ліворуч від зайнятий. Такого роду переповнення виключається зрушенням мантиси вправо на одні розрядів і збільшенням порядку на одиницю, тобто виробляється «нормалізація вправо»).

Від кількості розрядів, що відводяться для зберігання порядку, залежить діапазон записуваних чисел, а від кількості розрядів, що відводяться для мантиси, -точність запису числа. Якщо під цифрові розряди мантиси відведене n, а порядку - m розрядів, то максимальне й мінімальне по абсолютній величині нормалізовані двійкові числа відповідно рівні:

m n

‌ A ‌ макс = 2ֿ¹¹¹ ¹ 0,111…1=2·(1-2ֿⁿ)

mn

‌A‌мін = 2ֿ¹¹? ? 0,100... 0 = 2 ?2?¹

Діапазон чисел в ЕОМ із плаваючої коми визначається нерівністю

2^-(2m-1)*2^-1 <=|A|<= 2^(2m-1)*(1-2^-n) (1.2)

При досить більших n (звичайно n ? 30) 1-2 ? 1 і нерівність (1.2) приймає вид:

2^-2m<=|A|<=2^(2m-1) (1.3)

Із цієї нерівності видно, що діапазон чисел залежить в основному від порядку р. Якщо число перевищує верхню межу нерівності (1.3), те відбувається переповнення розрядної сітки й ЕОМ автоматично зупиняється.

Якщо число вийде за нижню межу нерівності (1.3), то воно буде відповідати машинному нулю.

2. Нормалізація чисел.

Числа, що задовольняють умові l/d ≤ M ≤ 1, називають нормалізованими.

Як видно із приклада, при різних порядках числа положення комі буває різним; тому ЕОМ, що допускають таку форму запису числа, відносять до машин із плаваючої зайнятий. У їхній пам'яті числа зберігаються нормалізованими. У розрядній сітці ЕОМ (рис, 1.3) фіксуються знак числа, знак порядку, порядок числа й числове вираження мантиси.

0 1 2 3 m+n+1

Знак Порядок Мантиса

числа Знак порядк

Рис. 1.3. Розрядна сітка ЕОМ із плаваючої коми

Нормалізоване подання чисел дозволяє зберігати в розрядній сітці велика кількість значущих цифр, що підвищує точність обчисленні. Звичайно в ЕОМ нормалізація як при уведенні чисел, так і в процесі обчислень (після виконання чергової операції) здійснюється автоматично. При цьому мантиса зрушується вліво на необхідне число розрядів і виробляється відповідне зменшення порядку, тобто виробляється «нормалізація вліво». При виконанні операції додавання або вирахування нормалізованих чисел з різними порядками одне з них «денормализуется» до рівняння порядків, а сума (або різниця) знову нормалізується.