Дослідження множини розв'язків СЛР за допомогою рангів
Зв’язок рангу матриці з рангом набору векторів
Розглянемо матрицю
.
Очевидно, стовпчики матриці можна вважати набором m-вимірних векторів, а її рядки – набором n-вимірних.
Теорема. Ранг матриці дорівнює рангу набору векторів-рядків та рангу набору векторів стовпчиків.
Наслідок. Рядки (стовпчики) базисного мінору матриці утворюють максимальну лінійно незалежну підсистему набору векторів-рядків (стовпчиків) цієї матриці.
Розглянемо неоднорідну СЛР, що містить m рівнянь та n невідомих у матричному вигляді. Критерій сумісності такої системи дається наступною теоремою.
Теорема Кронекера-Капелі.СЛР – сумісна тоді й тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці, тобто .
Дослідження множини розв’язків СЛР за допомогою рангів матриць дається наступною схемою.
Рис.4.2. Множина розв’язків СЛР.
Наслідки схеми для однорідних СЛР.
1. Однорідна СЛР завжди сумісна.
2. Якщо m<n, то однорідна СЛР невизначена.
3. Якщо однорідна СЛР – квадратна (m=n), то система невизначена тоді й тільки тоді, коли .