Лекция №2. Случайные события и действия над ними.

Как в алгебре основными объектами являются числа, для которых определяются операции и отношения, так в теории вероятностей основными объектами являются события, для которых определяются операции сложения, умножения, вычитания и отношения включения, равенства.

Как числа подразделяются на виды действительные, комплексные и т.д., так и события подразделяются на виды: достоверные, невозможные и случайные. События являются детерминированным или случайным результатом действия некоторого комплекса условий.

Определение 7.Достоверным событием называют результат испытания, который всегда наступает в данном комплексе условий. Обозначается буквой W.

Определение 8. Невозможным событием называют результат испытания, который никогда не наступает в данном комплексе условий. Обозначается .

Определение 9. Случайным событием называют результат испытания, который может произойти или не произойти в данном комплексе условий. Обозначается заглавными буквами алфавита.

Пример 10. Событие А = {Через 24 часа от данного момента будет светить солнце} является достоверным, невозможным или случайным в зависимости от условий, в которых оно рассматривается. Если испытание проводится в средних широтах, то все зависит от момента начала наблюдения (испытания); если испытание проводится в полярной зоне Земли, то полярный день (ночь) превращает это событие в неслучайное.

Определение 10. Суммой событий А₁, А₂, …, А_n называют событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных. Обозначается А₁È А₂ È … È А_n (рис. 1а).

Определение 11. Произведением событий А₁, А₂, …, А_n называют событие, состоящее в наступлении всех этих событий. Обозначается А₁Ç А₂ Ç … Ç А_n (рис. 1б).

Определение 12. Разностью событий А₁и А₂ называют событие, состоящее в наступлении А₁ и не наступлении А₂. Обозначается А₁ \ А₂ (рис.1в).

Определение 13. Дополнением события А называют событие, состоящее в не наступлении А. Обозначается : = W \ А (рис. 1г).

а) б)

в) г)

Рис. 1

Пример 11. Проводится испытание по бросанию двух игральных кубиков и рассматриваются следующие события: А = {Выпало не более пяти очков в сумме}, D = {Выпало два очка}, В = {Выпало четное число очков в сумме}, С = {На первом кубике нечетное число очков}. В чем состоят события А Ç В, В \ С, А Ç С, А Ç В Ç С? А È D?

Решение. А Ç В = {Выпало два или четыре очка}; В \ С = {На втором кубике выпало четное число очков}; А Ç С = {На втором кубике выпало не более четырех очков}; А Ç В Ç С = {На втором кубике выпало одно или три очка}; А È D = А.

Пример 12. Изобразите перечисленные ниже события с помощью диаграмм: 1) А È ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение. Чтобы изобразить эти события на диаграммах их следует «рисовать» (представлять) по частям:

1) 2)

3) 4)

Определение 14. Событие В называют следствием события А (или А влечет В), если при каждом наступлении события А в данном комплексе условий наступает и событие В: , событие А называют еще благоприятствующим событию В.

Замечание. Событие А называют равносильным событию В, если А влечет В и наоборот: А = В.

Определение 15. События А₁ и А₂ называют совместными, если , в противном случае их называют несовместимыми.

Определение 16. События А₁, А₂, …, А_n называют попарно несовместимыми, если при всех .

Пример 13. Проводится испытание по бросанию игрального кубика: A_i = {Выпало i очков}, В = {Выпало четное число очков}. Тогда событие А₂ влечет В, , ; событие равносильно событию В; события А_i попарно несовместные.

Определение 17. События А₁, А₂, …, А_n называют полной группой событий, если в результате испытания в данном комплексе условий наступает хотя бы одно из них.

Свойства операций над событиями:

1°.