Лекция N 19
Общая схема решения многокритериальных задач
Для описания предпочтений используют бинарные отношения, вводимые на множестве А сравниваемых объектов. В многокритериальной задаче роль таких объектов играют X или Y на множествах Dи Gсоответственно.
Если из двух объектов a и b ЛПР выбирает a, то говорят, что a предпочтительнее b. Все пары вида (a,b), где a,bÎА, для которых a предпочтительнее b, образуют множество, называемое отношением строгого предпочтения на А. Такое отношение обозначают символом ý (aýb или aPb, где Р – первая буква английского слова preferance – предпочтение).
Объекты a и b неразличимы для ЛПР, если они одинаковы по предпочтительности. Это значит, что не выполняется ни отношение aýb, ни býa. Множество всех неразличимых пар (a,b) называют отношением неразличимости или безразличия и обозначают символом ~ (a~b или aIb, где I происходит от indifference – безразличие).
Очевидно, что для любой пары a,b
A выполняется только одно из трех соотношений: aýb, býa, a~b. Объединение P и I дает отношение нестрогого предпочтения, обозначаемого символом (a b или aRb). Отношение a b означает, что a не менее предпочтительно, чем b.
В соответствии с этими определениями решение Х*
D (вектор Y*
G) называют оптимальным по отношению ý на множестве D (G), если не существует другого решения Х
D (вектора Y
G), для которого справедливо соотношение ХýХ* (YýY*). Если для любых X
D (Y
G) выполняется соотношение X* X (Y* Y), то X*
D (Y*
G) называется оптимальным решением (вектором) по отношению .
При сравнении по предпочтительности векторов Y=f(X) наиболее просто сопоставлять те вектора, которые отличаются лишь одной компонентой. Однако в общем случае частные критерии yi=fi(X) могут по-разному соотноситься по предпочтительности в зависимости от того , на каких уровнях зафиксированы остальные критерии. Так если вектор (,
) предпочтительнее вектора (
), а вектор (
) менее предпочтителен, чем (
), то какое из значение первого критерия,
или
, предпочтительнее сказать нельзя без знания значений остальных критериев. Так, например, чем выше потолок комнаты, тем лучше, но справедливо это до определенных соотношений высоты, ширины и длины комнаты. Чаще, однако, все значения частного критерия можно упорядочить по предпочтению без учета значений других критериев. Такие критерии называют независимыми по предпочтению от остальных. Примерами могут служить прибыль, издержки и т.п.
Задачи, в которых все критерии независимы по предпочтению, а отношением строгого предпочтения R является отношение >= (не меньше) называются многокритериальными задачами максимизации (аналогично при отношении «не больше» – задачами минимизации).
Напомним, что R включает (объединяет) P и I. На множестве G (или D) отношение строгого порядка P задают неравенством YY’ ( т.е. Y
Y’ и Y
Y’ ) или Y>Y’ (т.е.
для
). Наконец, равенство = порождает отношение безразличия.
Вектор (решение), оптимальный по отношению ≥ на множестве G (D), называется эффективным или парето-оптимальным. Значит, вектор Y*ÎG является парето-оптимальным (оптимумом Парето), если не существует вектор Y Î G такой, что Y ³ Y*. Множество таких векторов обозначают через Р(Y) и называют множеством Парето (эффективным множеством). Множество эффективных решений обозначают через Р(X).
Вектор, оптимальный по отношению >, называют слабо эффективным, слабо оптимальным по Парето (слабым оптимумом Парето). Значит, вектор Y*ÎG слабо парето оптимальный, если не существует YÎG такой, что Y>Y*. Множество таких векторов называют слабо эффективным и обозначают через S(Y). Соответствующее множество слабо эффективных решений имеет обозначение S(X). Если в G не найдётся Y³Y*, то не существует и Y>Y*. Следовательно, всякий эффективный вектор одновременно является и слабо эффективным, т.е. P(Y)ÍS(Y). Аналогично P(X) Í S(X).
Различие эффективного и слабо эффективного множеств хорошо видно на рис.10.3. Множество P(Y) состоит из частей границы множества G: кривых bc, de (исключая точки d и e ) и gh, а S(Y) – из кривой abcde (включая точку e) и кривой ghk. Точка d не входит в P(Y), т.к. она доминируется точкой c. Точно также точка e менее предпочтительна, чем g.
Геометрическое определение множеств P(Y) и S(Y) основано на том, что все точки YÎEm, для которых выполняется неравенство Y³Y0, образуют ортант (для m=2 – прямой угол), стороны которого параллельны координатным осям, а вершиной является точка Y0.
Поэтому, если весь угол (ортант), построенный на некоторой точке Y*
G, расположен вне множества G, то Y* парето-оптимальна. Если кроме вершины Y* пересечение ортанта и G содержит только точки, лежащие на одной из сторон ортанта, то Y* слабо парето-оптимальна, при этом Y*
P(Y), т.е. не является эффективной.
Понятие слабой эффективности оказывается полезным и в случае, когда приходится сокращать первоначальный набор критериев. Нередко на первых этапах исследования трудно определить минимально необходимый набор критериев и поэтому начинают с возможно более полного набора. По мере изучения свойств задачи выявляются несущественные критерии, которые исключаются из дальнейшего рассмотрения. В [30] показано, что множество слабо эффективных решений, выделяемое на полном наборе критериев, содержит все исходные решения, эффективные по сокращенному набору критериев.
Здесь рассмотрим наиболее важные с точки зрения приложений необходимые и достаточные условия оптимальности. Они позволяют строить методы отыскания эффективных решений и способы проверки эффективности найденных решений.
Наиболее общий случай необходимых условий содержит следующая теорема.
Теорема 1.Пусть Y*G и все
. Вектор Y* слабо эффективен тогда и только тогда, когда найдутся такие числа
, что
(1)
Условие не ограничивает применимость теоремы, так как его всегда можно обеспечить добавлением к
положительной константы
.
При оговариваемых свойствах D и f(X) справедливы теоремы 2 и 3.
Теорема 2.Пусть D выпукло, а , вогнуты и положительны на D. Тогда решение X* слабо эффективно в том и только в том случае, если существуют такие числа
, что
. (2)
Теорема 3.ПустьD выпукло, а f вогнуто. Для слабой эффективности точки X*ÎD необходимо и достаточно, чтобы существовали числа , при которых
. (3)
Требование вогнутости f существенно, так как его невыполнение может привести к тому, что не для всех слабо эффективных решений найдутся
, удовлетворяющие (10.3). Например, для критериев
и
(
выпукла) на D=[0,1] множество S(X)=D. Максимум функции
достигается только на одном из концов интервала [0,1] и поэтому ни при каких неотрицательных
и
максимизация этой функции не даст слабо оптимальную точку, лежащую внутри D.
Терема 4.Вектор Y*ÎG эффективен тогда и только тогда, когда для каждого
, (4)
где
¦
>
,
}. (5)
Если Y*ÎG эффективна, то она является единственной в G точкой, удовлетворяющей (10.4) при каждом .
Достаточные условия, приведенные ниже, основаны на свойствах возрастающей функции многих переменных. Поэтому сначала дадим определение такой функции. Числовая функция F(Y), определённая на множестве G, является возрастающей по отношению ³, если из выполнения неравенства Y³Y¢ для векторов Y,Y¢ÎG всегда следует справедливость неравенства F(Y)>F(Y¢). Аналогично, F(Y) – функция, возрастающая по отношению >, если из Y>Y ¢ всегда следует F(Y)>F(Y¢).
Теорема 5. Пусть функция F(Y) определена на множестве G. Для того чтобы точка Y*ÎG была эффективной (слабо эффективной), достаточно, чтобы она являлась точкой максимума на множестве G функции F(Y), возрастающей по отношению ³ (по отношению >).
Теорема легко доказывается от противного. Пусть Y*ÎG и
F(Y*)³F(Y) для всех YÎG. (6)
Предположим противное, т.е. что существует Y¢ÎG, для которого верно неравенство Y ¢³Y*. Так как функция F возрастающая по отношению ³, то противоречит (10.6). Аналогично доказываются достаточные условия слабой эффективности.
Теорема 5 играет важную роль в решении многокритериальных задач. Её применение основано на максимизации возрастающих функций многих переменных. Поэтому целесообразно рассмотреть примеры таких функций.
1). Функция F(Y)=, где
, является возрастающей по каждой переменной
на числовой оси и потому возрастает по ³ на Em. Поэтому любая точка максимума F(Y) на G эффективна. Эта же функция при
и хотя бы одном из них положительном является возрастающей по отношению > и, значит, максимизация такой функции на G дает слабо эффективную точку.
|
|
|





3).Функция F(Y), где s>0,
>0, а
>=
,
, возрастает по ≥ на G. Поэтому любая её точка максимума на G эффективна. Отсюда, в частности, следует, что минимизация широко применяемой функции
дает эффективную точку
|
|




5). Возьмём функцию F(Y) при
,
. Если
для всех i, то и
для всех i. Поэтому справедливо неравенство
|

и, значит, приведённая функция возрастает по отношению > на E . Следовательно, любая её точка максимума на G слабо эффективна.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Кратко подводятся итоги занятия, при этом обращается внимание студентов на цели и содержание дисциплины.
Дать задание на самостоятельную работу (отводимое время 4 часа):
ó с целью более глубокого освоения материала повторить и более подробно изучить линейную оптимизацию. Литература: [2] с. 262…264, конспект лекций,
При необходимости ответить на возникшие вопросы.
Старший преподаватель кафедры программного обеспечения И.Денисова