Сходимость ряда. Область сходимости
Считая, что ряд (29.1) задан, мы можем образовывать частичные суммы ряда: 
, 
, …, 
. Предположим, что ряд (29.1) числовой. Рассмотрим два случая:
1) Пусть существует конечный предел 
, тогда ряд (29.1) сходится и число S называется суммой этого ряда.
2) Пусть при неограниченном возрастании n сумма n первых членов 
ряда (29.1) возрастает неограниченно или вообще не стремится ни к какому пределу. Тогда говорят, что ряд (29.1) расходится и суммы не имеет.
Определение 29.2. Числовой ряд называется сходящимся рядом, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм – этот предел называется суммой ряда. В противном случае ряд называется расходящимся.
Если ряд (29.1) функциональный, то есть 
, то для каждого фиксированного значения 
аргумента x соответствующий числовой ряд 
или сходится, или расходится. Соответственно этому называется или точкой сходимости, или точкой расходимости данного функционального ряда. Совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости.
Если ряд (29.1) сходится, то 
– остаток ряда. 
– это погрешность, которая получится, если в качестве приближённого значения суммы ряда S взять его сумму первых n членов этого ряда. 
. Таким образом, взяв достаточно большое число членов сходящегося ряда, можно сумму этого ряда вычислить с любой степенью точности.
Основная задача теории рядов – исследование сходимости. Задача о нахождении суммы сходящегося ряда имеет второстепенное значение, так как после того, как установлена сходимость ряда, его сумма в большинстве случаев легко находится.
J Пример 29.1. 1) Частичные суммы бесконечной геометрической прогрессии
.
а) При 
– ряд сходится и его сумма 
.
б) При 
– ряд расходится.
в) При 
, – ряд расходится.
г) При 
Ряд принимает вид 
,
не существует – ряд расходится.
Следовательно, бесконечная геометрическая прогрессия сходится тогда и только тогда, когда .
2) Рассмотрим ряд 
.
Возьмём сумму его первых n членов:
, 
,
.
Следовательно, ряд сходится и его сумма равна 1. J