Определение внутренних усилий, моментов и перемещений в балочных конструкциях, лежащих на сплошном упругом основании

Предположим, что балка длиной l, загруженная произвольной нагрузкой q(х), свободно лежит на сплошном упругом основании. Прогибаясь под дейст­вием нагрузки, балка испытывает сопротивление со стороны основания, при­чем оче­видно, что чем больше прогиб бруса, тем больше реакция осно­вания. На этом эффекте основана гипотеза Винклера-Циммермана, согласно которой реакция основания пропорциональна прогибу в данной точке бруса. Эта же ги­потеза по­зволяет выбрать модель упругого основания как средуиз множества пружин перпендикулярных границе основания и работающих независимо одна от дру­гой (рис. 8.12).

Рис. 8.12. Модель упругого основания

Несмотря на то, что такая модель основания отличается от действительной модели грунта, во многих случаях гипотеза Винклера-Циммермана дает удов­летворительные практические результаты. Например, результаты расчета желе­зобетонной шпалы на основе этой гипотезы хорошо согласуются с эксперимен­тальными данными.

Так как в соответствии с гипотезой Винклера-Циммермана реакция осно­ва­ния пропорциональна прогибу балки, то интенсивность ре­акции со стороны ос­нования равна К×W(х), где К - постоян­ное число, обычно называемое коэффи­циентом постели; раз­мерность К [Н/см²].

Определим уравнение изогнутой оси для балки постоян­ного сечения, лежа­щей на упругом основании при действии произвольной нагрузки q(х). Начало координат возьмем в лю­бой точке, ось х направим вправо, ось у - вниз. Следо­ватель­но, прогиб балки будет положителен, если балка прогибается вниз (рис. 8.13).

Рис. 8.13. Положительное направление прогиба балки на упругом основании

Как известно, обычное дифференциальное уравнение прогиба балки имеет вид:

где EI – жесткость балки на изгиб;

М(х) – изгибающий момент в произвольном сечении балки.

Так как М(х) нам известно, свяжем прогиб балки с нагруз­кой; для этого два­жды продифференцируем предыдущее урав­нение

где q(х) - интенсивность сплошной нагрузки в сечении с абс­циссой х.

Если учесть реакцию со стороны основания, которая нап­равлена противопо­ложно действию нагрузки q(х), то последнее уравне­ние запишется так:

(8.53)

Дифференциальное уравнение (8.53) представляет собой уравнение изогнутой оси балки на упругом основании. Это линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение этого урав­нения состоит из двух частей: из решения однородного урав­нения, когда q(x) = 0, (W^*) и частного решения, зависящего от нагрузки q(х), (W**).

При q(х)=0 уравнение (8.53) запишется

Приведем это однородное уравнение к виду, удобному для интегрирования.

Обозначим

[см] , (8.54)

а независимую переменную х заменим безразмерной абсциссой

(8.55)

В результате получим:

(8.56)

Решение уравнения (8.56) ищем в форме:

(8.57)

После подстановки (8.57) в (8.56) получаем характеристическое уравнение от­носительно n:

Корни характеристического уравнения равны

Этим корням соответствует решение

(8.58)

где A, B, C, D – произвольные постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий по краям балки.

Решение (8.58) состоит из двух частей: одна часть содержит множитель e^{- x}, убывающий от левого края балки (х > 0), вторая часть содержит множитель e ^x, убывающий от правого края балки (х < l). Ниже будет показано, что для длин­ных балок одна часть решения с множителем e^{- x} не зависит от другой части решения с множителем e ^x, то есть обе части решения можно рассматривать не­зависимо друг от друга.

Последовательно дифференцируя выражение прогиба балки (8.58), получим выражение для угла поворота, изгибающего момента и перерезывающей силы, то есть:

+ + + + ; (8.59) (8.60)

(8.61)

Обозначим прогиб, угол поворота, изгибающий момент и поперечную силу в начале координат, точка 0 на рис. 8.13 соответственно через W₀ , j₀ , M₀ и Q₀ .

Тогда при из уравнений (8.58 – 8.61) следует

W₀ = A + C,

Lj₀ = A + B + C + D ,

L²M₀ = (-2B + 2D)EI , (8.62)

L³Q₀ = 2EI(A – B – C – D).

Решая систему уравнений (8.62) относительно произвольных постоянных A, B, C и D, получим

(8.63)

В результате подстановки значений произвольных постоянных в зависимости (8.58 – 8.61) и группировки подобных членов имеем:

(8.64)

где a(x), b(x), g(x), h(x) – функции Крылова:

(8.65)

Численные значения функций Крылова, а также графики этих функций даны на электронном рисунке 8.14.

Рис.8.14. Функции академика А.Н. Крылова

Заметим, что при дифференцировании функций Крылова получаются следую­щие простые, но очень важные для прак­тического применения дифференци­альные зависимости:

(8.66)

Таким образом, получено решение (8.64) однородного уравнения (8.56), неза­висящееот нагрузки. Остается определить частные решения для каждого фак­тора внутренних сил и перемещений, завися­щие от нагрузки.

Пусть на отрезке ох балки (рис. 8.15) действует вертикаль­ная сосредоточенная сила Р в точке с абсциссой b, сосредо­точенный момент М в точке с абсциссой а и равномерно рас­пределенная нагрузка интенсивностью q на участке от х = с до x = d.

Для вывода воспользуемся принципом независимости и сложения действия сил и малых деформаций. Сначала допус­тим, что все внешние нагрузки на уча­стке ох равны нулю, тогда прогиб W*(x), j *(х), М*(х) и Q*(x) будут зависеть толь­ко от начальных параметров и функций a(x), b(x), g(x) и h(x) (8.64).

Пусть теперь наоборот все начальные параметры равны нулю, но действуют сосредоточенные нагрузки М и Р. Если начало координат брать в точках при­ложения момента М и силы Р с абсциссой а и b, то момент М и силуР можнопринять за новые начальные параметры, тогда в формулах (8.64) следует поло­жить W₀ = j₀ = 0, M₀ = M и Q₀ = - P.

	W

Рис. 8.15. Нагрузки, действующие на балку

Так как начало координат смещено, то аргументами функций a(x), b(x), g(x) и h(x) будут расстояния от рассматриваемого сечения до новых силовых фак­торов М и Р, то есть соответственно отрезки и .

Частный интеграл при действии момента М получится, если в формуле (8.64) для W^*(x) принять: W₀ = j₀ = Q₀ = 0, M₀ = M , тогда

(8.67)

Аналогично при действии силы Р частный интеграл можно получить, если в этой же формуле принять: W₀ = j₀ = M₀ = 0 и Q₀ = - P. В этом случае

(8.68)

Если сил и моментов будет несколько, то в формулы (8.67) и (8.68) следует ввести суммы.

При распределенных нагрузках суммы превращаются в интегралы от эле­ментарных силовых факторов qdl, а при нескольких участков распределенных нагрузок будем иметь суммы интегралов.

При действии равномерно распределенной нагрузки интенсивности q в фор­муле (8.64) для W^*(x) примем W₀ = j₀ = M₀ = 0 и Q₀ = - qdl, тогда частный ин­теграл примет следующий вид:

Но согласно (8.66)

поэтому для равномерно распределенной нагрузки на участке балки с<x<d

(8.69)

Если нагрузка постоянна по всей длине балки, то c = 0, x = d и

(8.70)

Теперь, имея решение однородного уравнения W^* и частное решение W^** можно получить общее решение с учетом действия всех перечисленных выше нагрузок:

W(x) = W^*(x) + W^**(x).

Тогда общее решение дифференциального уравнения (8.53) с учетом зависи­мостей (8.64) и (8.67) – (8.69) запишется:

(8.71)

Теперь, последовательно дифференцируя уравнение (8.71) по x с учетом дифференциальных соотношений (8.66), получим решения для j(х), М(х) и Q(x)

(8.72)

Теперь вычисление W(x), j(x), M(x), Q(x) в любом сечении балки на упругом основании не представляет затруднений, если известны начальные параметры W₀, j₀, M₀ и Q₀. Эти начальные параметры определяются в каждом конкрет­ном случае из граничных условий на краях балки.

В качестве иллюстрации рассмотренной теории расчета балок на сплошном упругом основании методом начальных параметров решим задачу по определе­нию всех факторов напряженно-деформированного состояния фундамента лен­точного типа длиной l со свободными краями, нагруженного по середине про­лёта сосредоточенной силой Р, как показано на рис.8.16.

Рис. 8.16. Расчётная схема ленточного фундамента при действии сосредоточенной силы Р по середине пролета l

Так как края фундамента свободны от закрепления, то при х = 0 Q₀ = M₀ = 0, а при х = l Q_l = M_l = 0.

Таким образом, метод начальных параметров дает возможность сразу найти значения первых двух неизвестных параметров Q₀ и M₀ из граничных условий на левом краю фундамента. Два других неизвестных параметра W₀ и j₀ легко определяются из граничных условий на правом краю фундамента при x = l и b = l/2:

где

Решая два уравнения с двумя неизвестными относительно неизвестных на­чальных параметра W₀ и j₀, получим:

Теперь после подстановки найденных значений начальных параметров в фор­мулы (8.71) и (8.72) можно получить аналитические зависимости для определе­ния W(x), j(x), M(x), Q(x) в любом сечении ленточного фундамента.