Алгоритм разложения функции в ряд Тейлора

Пусть функция имеет в некоторой окрестности точки производные любого порядка.

РЯДЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА

РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ В

Лекция 11

Определение Степенной ряд вида

называется рядом Тейлора с центром в точке для функции .

Определение Ряд Тейлора с центром в точке

называется рядом Маклорена для функции .

1) Для сходимости ряда Тейлора в интервале необходимо и достаточно, чтобы

2) Если выполняется неравенство

тогда ряд Тейлора сходится к функции .

В этом случае говорят, что функция разлагается в ряд Тейлора.

1) Вычислить коэффициенты Тейлора в точке .

2) Составить ряд Тейлора.

3) Найти область сходимости .

4) Найти остаточный член .

5) Определить область , где

.

В соответствие с этими требованиями для основных элементарных функций получены следующие разложения в ряд Маклорена.