Сферична система координат

Координат

Циліндрична система

Якщо в прямокутній системі координат ХУZзамість перших двох координат хі увзяти поляр­ні координати, а третю залишити без змін, то дістанемо циліндрич­ну систему координат. Координати точки Рпростору в цій системі записуються у вигляді Р( , , z).

Далі при побудові систем коор­динат масштаб не зображатимемо. Звичайно на всіх осях координат задають один і той самий масштаб.

Знайдемо залежності між прямокутними декартовими коор­динатами точки Р (х, у,z)і її циліндричними координатами Р( , , z). (рис. 1.11). Враховуючи формули полярної системи координат, маємо

Де 0 < + ; 0 < 2 ; z < +

У тривимірному просторі ХУZ візьмемо точку Р і через цю точку та вісь аплікат проведемо площину. Нехай відстань точки Р від початку координат (полюса) дорівнює r, двогранний кут між координатною площиною ХOZ і площиною Z0Р дорівнює , а кут між віссю 0Z, і променем ОР дорівнює . Упорядкована трійка чисел (r, , ) однозна­чно визначає положення точки Р у просторі ХУZ. Ці числа називають сферичними координатами точкиРі записують Р(r, , )

Знайдемо залежність між прямокутними декартовими координа­тами і сферичними координатами точки. З прямокутного трикутни­ка OQР(рис. 1.11) знаходим

З прямокутного трикутника дістанемо

Тоді

де 0 r <+ ; 0 < 2 ; 0 0 <

Ці формули визначають взаємно однозначну відповідність між прямокутними декартовими системами і сферичними координатами точок простору XYZ

Якщо координати точки Р (рис. 1.7) отримуються, в результа­ті перетину координатних осей X₁ Х₂, Х₃ з площинами, то координати називаються прямолінійни­ми. Якщо за­мість площин через точку Р проводити за якимось законом поверхні, то отримані координати називаються криволінійними. Прикладом останніх є циліндричні, сферичні координати.

Як було показано, між множиною дійсних чисел і множиною то­чок одновимірного простору існує взаємно однозначна відповідність. Те саме стосується двовимірного і тривимірного простору. Точками двовимірного простору є упорядковані пари дійсних чисел, а точка­ми тривимірного простору — упорядковані трійки чисел. Природно ввести поняття n-вимірного простору.

n-Вимірним (скінченновимірним) просторомабо простором n вимірівназивають множину упорядкованих сукупностей дійсних чисел (x₁, х₂… х_n) в обраній системі координат і позначають Rⁿ.

Множина Rⁿ називається ще афінним просторомn вимірів.

Елемент (x₁, x₂… x_п) множини Rⁿде x₁,х₂ …х_n — задані дійсні числа, називають точкою n-вимірного простору, а числа — коор­динатами цієї точки і записують

Р (x₁ х_2… х_n). Якщо точка Р на­лежить простору Rⁿ то пишуть Р є Rⁿ , або

(х₁, х₂,…х_n) є Rⁿ .

Зазначимо, що окремими випадками n-вимірного простору є одновимірний простір R¹, двовимірний простір R² і тривимірний простір R³, які можна зобразити геометрично. Далі простори R¹, R², R³ на­зиватимемо наочними просторами.Для n-вимірного простору, де n > 4, ця наочність зникає. Отже, зрозуміло як ввести поняття кута між двома осями в тривимірному просторі, а як це зробити для n-вимірного простору, поки що невідомо (взагалі це можна зробити за допомогою по­няття вектора).