Полярна система координат
Спосіб визначення положення точок чи інших об'єктів на площині і в просторі за допомогою чисел називають методом координат.
Розглянемо так звану полярну систему координат, яку часто використовують під час пояснення багатьох фізичних явищ. Виберемо в площині довільну точку О, назвемо її полюсомі проведемо промінь ОР, який називається полярною віссю,задамо масштабну одиницю довжини т = |ОЕ|. Положення будь-якої точки М у площині визначимо так. Сполучимо відрізком прямої полюс з точкою М. Довжину відрізка ОМ позначимо через р. Цей відрізок називається полярним радіусомточки М; задамо на ньому напрям від О до М. Дістанемо вісь ОМ. Таким чином, маємо дві осі: перша — полярна вісь, а друга — вісь ОМ. Величину кута рОМ (з урахуванням напряму повороту) позначимо через (у градусах, радіанах або абстрактних одиницях) і назвемо його полярним кутомточки М (рис. 1.5).
Полярними координатамиточки М називається упорядкована пара чисел ( , ), де —довжина полярного радіуса; — величина полярного кута точки М. Для полюса = 0, а має довільне значення. Той факт, що числа і —координати точки М, записують так: М ( , ). Полярні координати і однозначно визначають положення точки на площині. Обернене твердження неправильне, оскільки кожній точці координатної площини відповідає одне й те саме і нескінченна множина полярніх кутів, які можуть відрізнятись один від одного на 2 , де кє Z.
Для того щоб дістати взаємно однозначну відповідність, на полярний кут накладають обмеження:
0 < 2 або < < .
Ці значення називаються головними значеннями полярного кута.
Знайдемо залежність між полярними і прямокутними декартовими координатами точки М. Сумістимо прямокутну систему координат ХОУ з полярною так, щоб початок
координат збігався з полюсом, а полярна вісь — з додатною піввіссю абсцис (рис. 1.6).
Нехай точка М у декартовій системі визначається координатами (х, у), а у полярній — координатами ( , ). Використовуючи означення тригонометричних функцій, знаходимо
х= cos , у =sin . Ці формули виражають декартові координати точки площини через полярні. Розв'язуючи систему відносно і за умови, що 0 і 0 <2 маємо:
при y 0
при y < 0
Ці формули показують взаємно однозначну відповідність між прямокутними і полярними координатами точок площини.