Понятие о модификации.

При разработке и исследовании автоматической системы управления получают ее математическое описание. Оно может быть:

- аналитическим

- графическим

- табличным

Математическая модель – это запись математических уравнений, описывающих процессы, происходящие в изучаемых объектах.

В основном эти уравнения являются нелинейными дифференциальными уравнениями. Например, рассмотрим звено,

f     u y

 

которое можно описать дифференциальным уравнением второго порядка

(1)

Где y – выходная величина

u, f – входные величины

- первая производная по времени

- вторая производная по времени

Это уравнение при произвольных входных воздействиях называют уравнением динамики.

Пусть при постоянных входных величинах u=u*

f=f*

процесс в звене с течением времени установится так, что выходная величина примет постоянное значение y=y*

Тогда уравнение (1) примет вид:

F(y*,0,0,u*,0)+f*=0 (2)

Это уравнение описывает статистический режим и называется уравнением статики.

Статистический режим можно описать графически с помощью статических характеристик.

Статическая характеристика – это зависимость выходной величины от входной в статическом режиме.

yвых xвх   x2вх y2вых x1вх y1вых yвх t y2вых x1вх x2вх xвх   Статическая y1вых характеристика t t Динамические характеристики  

 

 

В общем случае реальные значения отклонений от номинальных обозначим через y, u,..., Тогда

&
&
*
*
*
=
+
D
=
+
D
=
+
D
u
u
u
f
f
f
u
u
u
&

Подставим эти выражения в формулу(1) и разложим функцию в ряд Тейлора. Тогда:

 
 

Вычтем из этого уравнения уравнение (1), получим:

Где:

 

Полученное уравнение (3) возможно при следующих условиях:

1. отклонения выходной Dy и входной Du величин малы.

2. Функция F должна быть дифференцируема по всем переменным.

Это уравнение является линейным относительно приращений.

Если полученные производные не зависят от времени, то ai и bi - постоянные величины, то уравнение (3) является линейным относительно приращений с постоянными коэффициентами.

В теории уравнения для облегчения решения линейных дифференциальных уравнений применяются преобразования Лапласа.