Логические функции и способы их представления.

Логическая функция (формула алгебры высказываний) f(x₁, x₂, …, x_n) от n –переменных на множестве [0; 1] представляет собой высказывание и принимает значение 0 или 1. В этой функции логические переменные x₁, x₂, …, x_n представляют собой высказывание.

Существует много способов представления логических функций, мы рассмотрим следующие:

1. Аналитический - функция задается в виде алгебраического выражения, например:

(упрощенный вид).

2. Табличный - функция задается в виде таблицы истинности, которая содержит 2ⁿ строк и n+1 столбцов (n столбцов для значений аргументов и один столбец для значения самой функции f), где n-число аргументов. В такой таблице каждому набору аргументов соответствует значение функции.

Также каждому набору аргументов можно поставить в соответствии десятичный номер булевой функции. Он получается из двоичного числа, полученного при записи значений ее аргументов справа налево.

3. Числовой - функция задается в виде десятичных эквивалентов номеров тех наборов аргументов, на которых функция принимает значение 1. Нумерация наборов начинается с нуля, аналогично логическая функция может быть задана по нулевым значениям.

Пример. Чтобы представить функцию из предыдущей таблицы в числовом представлении, выпишем номера наборов, на которых функция принимает значения 1 или 0, т.е. получим два числовых представления: f(1,2,4,5,6,7)=1 и f(0,3)=0.

Все указанные представления эквивалентны и описывают одну и ту же функцию.

Логические элементы реализуются аппаратно с помощью транзисторов, резисторов. Значению 1 соответствует наличие напряжения на входе, значению 0 – его отсутствие. Логические элементы соединяются между собой и подсоединяются к входам, соответствующим переменным x, y, z и т.д., образуя логическую схему. Как правило, логическая схема имеет один выход.

Черные точки на соединениях означают разветвление, чтобы отличать от наложения соединений.

Пример. Построить логическую схему, реализующую функцию: