Квадратичная интерполяция

Линейная интерполяция

Простейшим и часто используемым видом локальной интерполяции является линейная интерполяция. Она состоит в том, что заданные точки М(x_i, y_i) (i = 0, 1, ..., n)соединяются прямолинейными отрезками, и функция f(x) приближается к ломаной с вершинами в данных точках (Рисунок 1).

Рисунок 1. Линейная интерполяция

Уравнения каждого отрезка ломаной линии в общем случае разные. Поскольку имеется n интервалов(x_i , x_{i + 1}), то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного полинома используется уравнение прямой, проходящей через две точки. В частности, для i - го интервала можно написать уравнение прямой, проходящей через точки (x_i , y_i) и (x_{i + 1}, y_{i + 1}), в виде:

Отсюда

(4)

Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение аргумента x, а затем подставить его в формулу (4) и найти приближенное значение функций в этой точке.

В случае квадратичной интерполяции в качестве интерполяционной функции на отрезке (x_{i - 1},x_{i + 1})принимается квадратный трехчлен.

Уравнения квадратного трехчлена

y = aix2 + bix + ci,, xi - 1x xi + 1,

(5)

содержат три неизвестных коэффициента a_i, b_i, c_i, для определения которых необходимы три уравнения.

Ими служат условия прохождения параболы (6) через три точки (x_{i - 1}, y_{i - 1}), (x_i, y_i), (x_{i + 1}, y_{i + 1}). Эти условия можно записать в виде:

ai x + bi xi - 1 + ci = yi - 1, ai x + bi xi + ci = yi, ai x + bi xi + 1 + ci = yi + 1.

(6)

Интерполяция для любой точки x [x₀, x_n] проводится по трем ближайшим точкам

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение аппроксимации.

2. Дайте определение интерполяции.

3. В чём заключается задача интерполирования?

Список рекомендуемой литературы:

Исаков В.Н. Элементы численных методов, стр 76-81, 179.

Поршнев С.В., Беленкова И.В. Численные методы на базе Mathcad, стр 73-76, 255