Проекции плоских углов

Метод конкурирующих точек

Для определения видимости геометрических элементов (какая из двух скрещивающихся прямых располагается над другой или перед другой) на комплексном чертеже используется метод конкурирующих точек. Согласно этому методу (методу определения расстояний от конкурирующих точек до соответствующей плоскости проекций и их сравнения), нужно от точки пересечения проекций прямых по линии проекционной связи переместиться в область противоположных проекций, пройти их, развернуться на 180⁰ и посмотреть по стрелке, какая точка расположена ближе к наблюдателю, следовательно, эта точка и будет видима в рассматриваемом пересечении. На рис.3.18 точка 2, принадлежащая прямой CD, и точка 1, принадлежащая прямой АВ, расположены на одном перпендикуляре к плоскости П₂. Фронтальные проекции точек 1 и 2 слились в одну точку, которая является точкой пересечения фронтальных проекций А₂В₂ и C₂D₂ прямых. Точка 2 более удалена от плоскости П₂, чем точка 1, следовательно, при проецировании на плоскость П₂ она закроет собой точку 1, т.е. будет видима. Аналогично - точка 4, принадлежащая прямой CD, и точка 3, принадлежащая прямой АВ, расположены на одном перпендикуляре к плоскости П₁. Горизонтальные проекции точек 3 и 4 слились в одну точку, которая является точкой пересечения горизонтальных проекций А₁В₁ и C₁D₁ прямых. Точка 4 более удалена от плоскости П₁, чем точка 3, следовательно, при проецировании на плоскость П₁ она закроет собой точку 3, т.е. будет видима.

Плоский угол проецируется на плоскость проекций в натуральную величину, если его стороны параллельны этой плоскости проекций. Но если проецируемый угол прямой (рис. 3.19), то, для того чтобы он спроецировался на плоскость проекций в натуральную величину, достаточно параллельности одной его стороны этой плоскости проекций.

Изображённый на рис. 3.20 ÐАВС - прямой, т. к. одна его сторона (ВС) параллельна плоскости проекций П₁, на которую он спроецировался в виде прямого угла (ÐА₁В₁С₁ = 90⁰), т.е. в натуральную величину.

Рис. 3.19. Рис. 3.20.

3.9. Пример выполнения графической работы «Пирамида»

По данным координатам вершин пирамиды SABC требуется:

1) по координатам точек вершин пирамиды SАВС построить ее фронтальную и горизонтальную проекции, показать видимость сторон;

2) определить проекции и следы любого ребра, принадлежащего пирамиде SАВС;

3) определить натуральную величину любых трех ребер пирамиды SАВС, показав владение двумя способами (прямоугольного треугольника и вращения).

Эти задачи решаются на одном комплексном чертеже на листе формата АЗ.

Исходные данные

Числовые данные варианта взять из приложения 11.2. Номер варианта выдается преподавателем.

Оформление данной графической работы указано в прил. 11.1

1) Построение изображение на чертеже начинают с проработки соответствующей темы данного учебного пособия и лекционного материала.

2) По центру листа намечаются оси координат, по числовым значениям X и Z, X и U координат точек вершин пирамиды SАВС строятся ее фронтальная S₂А₂В₂С₂ и горизонтальная S₁А₁В₁С₁ проекции. Одноименные проекции вершин соединяются прямыми линиями (рис. 3.21).

Видимость сторон пирамиды определяют методом конкурирующих точек. Видимые отрезки выделяют сплошными основными линиями, невидимые – штриховыми.

Вопрос определения видимости сторон с использованием метода конкурирующих точек рассматривается подробно в подразделе 3.7 данного пособия.

В нашем примере на горизонтальной проекции наблюдается перекресток, образованный проекциями В₁С₁ и S₁А₁. В перекрестке – две конкурирующие точки K и L, одна из которых принадлежит ребру SА, а другая – ребру ВС. Для определения видимости от точки пересечения поднимаются в область противоположных проекций, проходят их и разворачиваются на 180 градусов. Затем смотрят, какая проекция ребра на линии проекционной связи будет ближе к наблюдателю, тогда это ребро на противоположной плоскости проекций будет видимым.

3) При выполнении следующего задания необходимо помнить, что следом прямой называется точка ее пересечения с плоскостью проекций. Принцип нахождения следов прямой рассматривается в подразделе 3.3.

На рис 3.21 для определения горизонтального следа прямой G продолжают фронтальную проекцию прямой А₂В₂ до пересечения с осью ОX. В точке пересечения восстанавливают перпендикуляр и ведут его до пересечения с продолжением горизонтальной проекции прямой А₁В₁ .

Точка пересечения является горизонтальным следом G прямой АВ, здесь же будет находиться его горизонтальная проекция G_1, а фронтальная проекция G₂ – на оси ОХ. Для определения фронтального следа F прямой продолжают горизонтальную проекцию прямой А₁В₁ до пересечения с осью ОХ, в точке пересечения восстанавливают перпендикуляр и ведут его до пересечения с продолжением фронтальной проекции прямой А₂В₂. Точка пересечения является фронтальным следом F прямой АВ. Здесь же будет находиться его фронтальная проекция F₂, а горизонтальная проекция F₁– на оси ОХ.

Если производимые построения выходят за поле чертежа, то можно вместо ребра взять любую, устраивающую нас прямую на какой-либо грани пирамиды SАВС.

4) Натуральную величину трех ребер пирамиды SАВС необходимо определить двумя методами: методом прямоугольного треугольника и методом вращения. Для выполнения данного задания следует руководствоваться подразделом 3.4. данного пособия. Найденные натуральные величины необходимо подписать по типу: «НВ АS» или «НВ ВS» и т.п.

Определим натуральную величину ребра АВ пирамиды SАВС методом прямоугольного треугольника.

Для этого примем горизонтальную проекцию А₁В₁ за первый катет прямоугольного треугольника, проведем через точку В₁ перпендикуляр к А₁В₁, откладывая на нем от точки В₁ отрезок В₁В', равный разности координат Z и Z' точек А и В. Полученную точку В' соединим с точкой А₁ прямой В'А₁. Гипотенуза В'А₁ построенного прямоугольного треугольника равна натуральной величине отрезка АВ.

Натуральная величина отрезка прямой (ребра) может быть определена, если в качестве первого катета прямоугольного треугольника взять фронтальную проекцию отрезка АS, тогда второй катет должен быть равен разности координат U концов А и S отрезка (рис. 3.21).

Итак, натуральная величина отрезка на комплексном чертеже строится как гипотенуза прямоугольного треугольника, первый катет которого равен одной из проекций отрезка, а второй – разности расстояний от концов отрезка до той плоскости проекций, на которой взят первый катет.

Если прямоугольный треугольник построен на горизонтальной плоскости проекций П_1, то угол между проекцией отрезка и найденной его натуральной величиной будет являться углом наклона прямой к П₁ – α, если на фронтальной к П₂ – β.

Рис. 3.21. Пример выполнения графической работы «Пирамида».

Определим натуральную величину сторон треугольника методом вращения.

На рис. 3.21 отрезок прямой общего положения АС вращением вокруг оси i, перпендикулярной к плоскости проекций П₁ и проходящей через точку С, переведен в положение, параллельное плоскости проекций П₂.

Точка С неподвижна. Ее горизонтальная проекция С₁ совпадает с горизонтальной проекцией оси (С_1º i₁). Проекция А₁С₁ равна радиусу вращения точки А. Для того, чтобы отрезок АС расположился параллельно плоскости П₂, его горизонтальная проекция А₁С₁ должна быть параллельна оси ОХ, что достигается перемещением точки А₁ по дуге А₁А' в положение А₁'.

Фронтальная проекция А₂ переместится по прямой параллельно оси ОХ. Проведя линию проекционной связи через А₁', найдем в ее пересечении с прямой перемещения фронтальной проекции А₂ точку А₂' – переместившуюся фронтальную проекцию точки А. Соединив теперь точку С₂ и А₂' прямой, получим фронтальную проекцию С₂А₂' данного отрезка после его поворота вокруг оси i. Отрезок С₂А₂' равен натуральной величине АS.

Ось вращения на чертеже не показывают. Ее можно выбирать перпендикулярно любой плоскости проекций, проводить через любой конец отрезка. Вращение можно осуществлять по или против часовой стрелки - результат будет одинаков.

Как полученные, так и исходные данные следует отобразить в работе в виде таблиц произвольного размера, расположенных на свободном месте поля чертежа.