Конические поверхности

Замечания.

1)если уравнение G(x, z)=0 в плоскости Oxz в системе координат O определяет линию γ', то это же уравнение в пространстве определяет цилиндр с направляющей γ' и параллельными оси OY образующими;

2)если уравнение (1) есть уравнение второй степени относительно X и Y, то есть γ- линия второго порядка, то цилиндрическая поверхность с направляющей γ и параллельными вектору образующими является цилиндром второго порядка. Вид его определяется видом направляющей линии γ.

Рассмотрим цилиндрические поверхности 2-го порядка.

1. Эллиптический цилиндр

.

Все образующие этого цилиндра параллельны оси OZ, все его сечения плоскостями, параллельными плоскости Oxy есть равные между собой эллипсы. Любой из них, например, сечение плоскостью Oxy можно принять за направляющую.

При a=b эти сечения являются окружностями, цилиндр является поверхностью вращения и называется круговым цилиндром.

Он образован вращением прямой с уравнением , лежащей в Oxz, вокруг оси OZ: x²+y²=a².

2. Гиперболический цилиндр

.

Все образующие этого цилиндра параллельны оси OZ, направляющей может служить, например, гипербола, лежащая в плоскости Oxy.

3. Параболический цилиндр

.

Все образующие этого цилиндра параллельны оси OZ, направляющей может служить, например, парабола x²=2a²y, лежащая в плоскости Oxy (z=0).

4.–цилиндр, распавшийся на пару плоскостей , пересекающихся по оси OZ.

5. –цилиндр, распавшийся на пару плоскостей , параллельных плоскости OXY.

6.–цилиндр, состоящий из пары совпадающих с плоскостью OYZ плоскостей.

Определение 1. Конической поверхностью или конусом с вершиной в точке М₀ называется поверхность, образованная всеми прямыми, каждая из которых проходит через точку М₀ и через некоторую точку линии γ. Точка М₀ называется вершиной конуса, линия γ – направляющей. Прямые, проходящие через вершину конуса и лежащие на нем, называются образующими конуса.

Теорема.Поверхностью 2-го порядка с каноническим уравнением

. (1)

является конусом с вершиной в начале координат, направляющей которой служит эллипс

γ: (2)

Доказательство.

Пусть M₁ (x₁; y₁; z₁) – некоторая точка поверхности α, отличная от начала координат; ?=ОM₁ – прямая, M (x; y; z) принадлежит ?. Так как | | , то , такое что

(3)

Так как , то ее координаты x₁; y₁; z₁ удовлетворяют уравнению (1). Учитывая условия (3) имеем , где t ≠ 0. Разделив обе части уравнения на t² ≠ 0, получим, что координаты произвольной точки M (x; y; z) прямой m=ОM₁ удовлетворяют уравнению (1). Ему также удовлетворяют и координаты точки О(0,0,0).

Таким образом, любая точка M (x; y; z) прямой m=ОM₁ лежит на поверхности α с уравнением (1), то есть прямая ОM₁ =m – прямолинейная образующая поверхности α.

Рассмотрим теперь сечение поверхности α плоскостью, параллельной плоскости Oxy с уравнением z = c ≠ 0:

или

Это сечение является эллипсом с полуосями а и b. Следовательно, она пересекает этот эллипс. Согласно определению 1 поверхность α является конусом с вершиной О(0,0,0) (Все прямые m проходят через начало координат); образующие этого конуса есть прямые m, направляющая – указанный выше эллипс.

Теорема доказана.

Определение 2.Поверхность 2-го порядка с каноническим уравнением (1) называется конусом второго порядка.

Свойства конуса 2-го порядка.

1º Конус с уравнением (1) симметричен относительно всех координатных плоскостей, всех координатных осей и начала координат (так как все переменные содержатся в уравнении (1) во второй степени).

2º Все координатные оси имеют с конусом (1) единственную общую точку – начало координат, которая служит его вершиной и центром одновременно

3º Сечение конуса (1) плоскостями Oxz и Oyz – пары пересекающихся в начале координат прямых; плоскостью Oxy – точка О(0,0,0).

4º Сечения конуса (1) плоскостями, параллельными координатным плоскостям, но не совпадающими с ними, являются либо эллипсами, либо гиперболами.

5º Если а = b, то эти эллипсы являются окружностями, а сам конус – поверхностью вращения. Он называется в этом случае круговым конусом.

Определение 3: коническим сечением называется линия по которой пересекается круговой конус с произвольной плоскостью не проходящей через его вершину. Таким образом, каноническими сечениями является эллипс, гипербола и парабола.

Р₁ Р₂

Эллипс. Парабола (α║р) Гипербола (α║р₁, α║р₂)