Понятие отображения.

IV Преобразование плоскости

Имеет место следующая классификация линий 2-го порядка

Линии 2-го порядка Эллипс Мнимый эллипс Пара мнимых пересекающихся прямых Линии 2-го порядка
Эллиптического типа Центральные
Гиперболического типа Гипербола Пара пересекающихся прямых Центральные
Параболического типа Парабола Нецентральная
Пара параллельных прямых Пара совпавших прямых Пара мнимых параллельных прямых С прямой центров

 

 

М
 
 
G
 
 

 

 


Определение 1: пусть имеются две фигуры F и G – множество точек, причем произвольной точке М фигуры F соответствует определенная точка фигуры G. Тогда:

1) это соответствие называется отображением фигуры F в фигуру G;

2) точка называются образом точки ;

3) точка называется прообразом точки ;

4) если точки и совпадают ( ), то точка М называется неподвижной или двойной точкой отображения;

5) фигура , состоящая из образов всех точек фигуры , называется образом фигуры F.

Обозначения:

F – отображение;

или

или .

пусть F=AB – гипотенузы прямоугольного , G=AC прямая соединяющая его катет АС, f – ортогональное проектирование на прямую АС.

F
M
B
M/
C=B/
D G
А=А/
F/
f
f
900

 

 


Имеем

C – образ В: f(В)=С, В/ C;

М/ -образ М: f(М)=М/, где М АВ=F;

А – неподвижная очка преобразования f: f(А)=А/, А=А/.

Точка D АС не имеет прообраза в фигуре F F/ G.

F G – F/ является подмножеством множества точек G.

Катет АС – образ гипотенузы АВ=F:

f(F)=АС=F/.

Замечание 1: по определению каждая точка М фигуры F при отображении f в фигуру G имеем один образ М/. Число же прообразов для М для точки М/ фигуры G может быть различным (большим или равным одного).

Определение 2: если каждая точка фигуры G имеем хотя бы одон прообраз в фигуре F, то отображение f: F G называется сюръекцией и в этом случае говорят об отображении фигуры G/

А
В
С
F
f
А/
B/

 

 


F на G (сюръекция).

f(А)=А/ - точка А/ имеет один прообраз в F.

f(В)=В/ - точка В/ имеет два прообраза в F.

 
Замечание 2: отображение является сюръекцией тогда и только тогда, когда - G является образом F.

Определение 3: если для любых двух различных точек М1 М2 фигуры F f1) f2), то отображение f фигуры F в фигуру G называется инъекцией.

Определение 4: если отображение одновременно является сюръекцией и инъекцией, то оно называется взаимно однозначным отображением фигуры F на фигуру G или биекцией.

А/
В/
С/
f
G
F
А
Вв
С
М
М/
О
N
N/
γ

 

А/= f(А), В/= f(В), С/= f(С). Точки А/, В/, С/ фигуры G имеют один и только один прообраз, f(А) f(В) f(С); f – биекция.

Замечание 3: биекция является частным случаем сюръекции (каждая точка фигуры G имеет единственный прообраз).

Определение 5: инвариантными отображениями называются свойства фигур, тела или функции, связанные с фигурами, которые сохраняются при этом отображении.

Пример 2: в примере 1 имеем (f – ортогональное проектирование).

1) длина отрезка не является инвариантом ортогонального проектирования f на каким АС точек гипотенузы АВ, так как АМ А/М/;

2) отношение (число) λ, в котором точка М делит отрезок АВ, является инвариантом отображения f, так как по теореме Фалеса;

3) свойство точки М «лежать между» точками А и В является инвариантом отображения f,так как при нем М/также лежит между А/ и В/.