Понятие отображения.
IV Преобразование плоскости
Имеет место следующая классификация линий 2-го порядка
| Линии 2-го порядка | Эллипс Мнимый эллипс Пара мнимых пересекающихся прямых | Линии 2-го порядка |
| Эллиптического типа | Центральные | |
| Гиперболического типа | Гипербола Пара пересекающихся прямых | Центральные |
| Параболического типа | Парабола | Нецентральная |
| Пара параллельных прямых Пара совпавших прямых Пара мнимых параллельных прямых | С прямой центров |
| М |
| G |
Определение 1: пусть имеются две фигуры F и G – множество точек, причем произвольной точке М фигуры F соответствует определенная точка фигуры G. Тогда:
1) это соответствие называется отображением фигуры F в фигуру G;
2) точка называются образом точки ;
3) точка называется прообразом точки ;
4) если точки и совпадают ( ), то точка М называется неподвижной или двойной точкой отображения;
5) фигура , состоящая из образов всех точек фигуры , называется образом фигуры F.
Обозначения:
F – отображение;
или
или .
пусть F=AB – гипотенузы прямоугольного , G=AC прямая соединяющая его катет АС, f – ортогональное проектирование на прямую АС.
| F |
| M |
| B |
| M/ |
| C=B/ |
| D G |
| А=А/ |
| F/ |
| f |
| f |
| 900 |
Имеем
C – образ В: f(В)=С, В/ C;
М/ -образ М: f(М)=М/, где М АВ=F;
А – неподвижная очка преобразования f: f(А)=А/, А=А/.
Точка D АС не имеет прообраза в фигуре F F/ G.
F G – F/ является подмножеством множества точек G.
Катет АС – образ гипотенузы АВ=F:
f(F)=АС=F/.
Замечание 1: по определению каждая точка М фигуры F при отображении f в фигуру G имеем один образ М/. Число же прообразов для М для точки М/ фигуры G может быть различным (большим или равным одного).
Определение 2: если каждая точка фигуры G имеем хотя бы одон прообраз в фигуре F, то отображение f: F G называется сюръекцией и в этом случае говорят об отображении фигуры G/
| А |
| В |
| С |
| F |
| f |
| А/ |
| B/ |
F на G (сюръекция).
f(А)=А/ - точка А/ имеет один прообраз в F.
f(В)=В/ - точка В/ имеет два прообраза в F.
Определение 3: если для любых двух различных точек М1 М2 фигуры F f(М1) f(М2), то отображение f фигуры F в фигуру G называется инъекцией.
Определение 4: если отображение одновременно является сюръекцией и инъекцией, то оно называется взаимно однозначным отображением фигуры F на фигуру G или биекцией.
| А/ |
| В/ |
| С/ |
| f |
| G |
| F |
| А |
| Вв |
| С |
| М |
| М/ |
| О |
| N |
| N/ |
| γ |
А/= f(А), В/= f(В), С/= f(С). Точки А/, В/, С/ фигуры G имеют один и только один прообраз, f(А) f(В) f(С); f – биекция.
Замечание 3: биекция является частным случаем сюръекции (каждая точка фигуры G имеет единственный прообраз).
Определение 5: инвариантными отображениями называются свойства фигур, тела или функции, связанные с фигурами, которые сохраняются при этом отображении.
Пример 2: в примере 1 имеем (f – ортогональное проектирование).
1) длина отрезка не является инвариантом ортогонального проектирования f на каким АС точек гипотенузы АВ, так как АМ А/М/;
2) отношение (число) λ, в котором точка М делит отрезок АВ, является инвариантом отображения f, так как по теореме Фалеса;
3) свойство точки М «лежать между» точками А и В является инвариантом отображения f,так как при нем М/также лежит между А/ и В/.