Обернена пропорційність, її властивості та графік.

Лінійна функція, її властивості та графік.

3. Більш загальною залежністю, ніж пряма пропорційність величин, є лінійна залежність величин, яка виражається формулою у=kх+b або y=ax+b, перейдемо до визначення та виявлення властивостей цієї функції.

Означення: функція виду у=kх+b (або y=ax+b), де а, b, k – дійсні числа, причому k≠0 (або a≠0) називається лінійною функцією.

Оскільки для знаходження значень функції за відомим значенням аргументу для у=kх+b необхідно виконувати дії множення та додавання, які в множині дійсних чисел завжди існують, то областю визначення цієї функції буде множина дійсних чисел. Отже, D(kх+b)=R.

Для визначення проміжків монотонності функції виберемо два довільних значення аргументу х₁ і х₂ таких, що х₁>х₂. Якщо k>0, то kх₁>kх₂, тоді для довільного bєR маємо: kх₁+b>kх₂+b, тобто f(х₁)>f(х₂). Це означає, що при k>0 лінійна функція зростає на всій області визначення. Якщо k<0, то із нерівності х₁>х₂ випливає kх₁<kх₂, тоді для довільного bєR маємо: kх₁+b<kх₂+b, тобто f(х₁)<f(х₂). Це означає, що при k<0 лінійна функція спадає на всій області визначення.

Для того, щоб визначити парною чи непарною є ця функція, відповідно до означення непарних функцій, маємо: f(-х)=k(-x)+b= -kx+b= -(kx-b)≠ -f(х). Таким чином, не справджується жодна з рівностей f(-х)= -f(х) чи f(-х)=f(х). Це означає, що лінійна функція не відноситься ні до парних, ні до непарних. Розглядаючи рівняння прямих, ми встановили, що графіком функції у=kх+b є пряма лінія. Особливих точок функція немає. Оскільки для кожного значення аргументу хєR, можна знайти відповідне йому значення функції уєR, то множиною значень функції у=kх+b є множина всіх дійсних чисел, тобто Е(kx+b)=R.

4. Розглядаючи прямо пропорційні величини, ми встановили, що вони задаються формулою у= kх. Сформулюємо означення обернено пропорційних величин.

Означення: дві величини називаються обернено пропорційними, якщо із збільшенням (зменшенням) однієї величини у кілька разів інша величина зменшується (збільшується) у стільки ж разів.

Означення: функцією оберненої пропорційності називається функція виду у=k/х, де k≠0 і kєR.

Розглянемо властивості функції у=k/х. Оскільки для знаходження значення у за відомим значенням х необхідно виконати дію ділення, яка в множині дійсних чисел не існує лише для ділення на нуль, то областю визначення цієї функції буде множина дійсних чисел крім нуля. Отже, D(k/x)=(-∞;0)È(0;+∞). Для визначення проміжків монотонності функції виберемо два довільних значення аргументу х₁ і х₂ таких, що х₁>х₂. Тоді 1/ х₁<1/х₂. Якщо k>0, то k/х₁>k/х₂, тобто f(х₁)<f(х₂). Це означає, що при k>0 функція оберненої пропорційності спадає на всій області визначення. Якщо k<0, то із нерівності 1/х₁<1/х₂ випливає k/х₁>k/х₂, тобто f(х₁)>f(х₂). Це означає, що при k<0 функція оберненої пропорційності зростає на всій області визначення.

Для того, щоб визначити парною чи непарною є ця функція, відповідно до означення непарних функцій маємо: f(-х)=k/(-x)= -k/x= -f(х), тобто справедлива рівність f(-х)= -f(х). Це означає, що функція у=k/х є непарною, а її графік повинен бути симетричним відносно початку координат. Із шкільного курсу математики відомо, що графіком функції у=k/х є гіпербола, яка розміщена у першій та третій координатних кутах, якщо k>0, і в другій та четвертій чверті, якщо k<0. Особливою точкою функції є точка з координатами (0;0). Якщо х прямує до нуля, залишаючись меншим за х, то при k>0 функція у=k/х прямує до -∞. Якщо ж х прямує до нуля, залишаючись більшим за нуль, то функція прямує до +∞. Якщо х прямує до нуля, залишаючись меншим за х, то при k<0 функція у=k/х прямує до +∞. Якщо ж х прямує до нуля, залишаючись більшим за нуль, то функція прямує до -∞. Оскільки для кожного значення аргументу х≠0 і хєR, можна знайти відповідне йому значення функції уєR, яке не дорівнює нулю, то множиною значень функції у=k/х є множина таких дійсних чисел, для яких хє(-∞;0)È(0;+∞), тобто Е(k/x)=(-∞;0)È(0;+∞).