Подставляя значение τ в предыдущее уравнение, получаем

Отсюда

Примеры использования уравнения Бернулли в технике

 

Уравнение Бернулли широко применяется в технике, как для выполнения гидравлических расчетов, так и для решения ряда практических задач. Одной из таких задач является измерение скорости и расхода жидкости. Рассмотрим некоторые устройства для измерения расхода и скорости жидкости.

^ Расходомер Вентури представляет собой устройство, устанавливаемое в трубопроводах и осуществляющее сужение потока - дросселирование (рисунок 3.6). Расходомер состоит из двух участков - плавно сужающегося (сопла) и постепенно расширяющегося (диффузора). Скорость потока в суженном месте возрастает, а давление падает. Возникает разность (перепад) давлений, которая измеряется двумя пьезометрами или дифференциальным U-образным манометром и определенным образом связана с расходом. Найдем эту связь. Допустим в сечении 1-1 потока непосредственно перед сужением скорость потопа равна υ1, давление р1, площадь сечении S1, а в сечении 2-2, т. е. в самом узком месте потока, соответственно υ2, р2, S2. Разность показаний пьезометров, присоединенных к указанным сечениям ΔН.

Запишем для сечений 1—1 и 2—2 потока уравнение Бернулли и уравнение расхода (считая распределение скоростей равномерным):

где hм — потеря напора между сечениями 1-1 и 2-2.

Учитывая, что

и

найдем из этой системы уравнений одну из скоростей, например

,

отсюда объемный расход

(3.17)

или , (3.18)

где С – величина, постоянная для данного расходомера.

Зная величину С и наблюдая за показанием пьезометра, можно найти расход в трубопроводе для любого момента временя по формуле (3.18). Константу С можно определить теоретически, но точнее ее можно найти экспериментально, т. е. в результате градуирования расходомера.

Связь между ΔН и Q получается параболической, а если по оси абсцисс откладывать расход во второй степени, то график этой зависимости будет представлять собой прямую.

Очень часто вместо пары пьезометров для измерения перепада давления в расходомере применяют дифференциальный ртутный манометр. Учитывая, что над ртутью в трубках находится та же жидкость плотностью ρ, можно записать

Т
рубка полного напора
(или трубка Пито) служит для измерения скорости, например, в трубе (рисунок 3.7). Если установить в этом потоке трубку, изогнутую под углом 90°, отверстием навстречу потоку и пьезометр, то жидкость в этой трубке поднимается над уровнем в пьезометре на высоту, равную скоростному напору. Объясняется это тем, что скорость υ частиц жидкости, попадающих в отверстие трубки, уменьшается до нуля, а давление, следовательно, увеличивается на величину скоростного напора. Измерив разность высот подъема жидкости в трубке Пито и пьезометре, легко определить скорость жидкости в данной точке.

На этом же принципе основано измерение скорости полета самолета. На рисунке 3.7 показана схема самолетной скоростной трубки (насадка) для измерения малых по сравнению со скоростью запуска скоростей полета.

Запишем уравнение Бернулли для струйки, которая набегает на трубку вдоль ее оси, а затем растекается по ее поверхности. Для сечений 0-0 (невозмущенный поток) и 1-1 (где

υ = 0), получаем

Так как боковые отверстия трубки приближенно воспринимают давление невозмущенного потока, р2 ≈ р0, следовательно из предыдущего имеем

.

Другим важным случаем практического использования уравнения Бернулли является создание топливно-воздушной смеси для двигателей внутреннего сгорания с помощью карбюратора и эжектора.

Карбюраторпоршневых двигателей внутреннего сгорания служит для подсоса бензина и смешения его с потоком воздуха (рисунок 3.9). Поток воздуха; засасываемого в двигатель, сужается в том месте, где установлен распылитель бензина (обрез трубки диаметром d). Скорость воздуха в этом сечении возрастает, а давление по закону Бернулли падает. Благодаря пониженному давлению бензин вытекает в поток воздуха.

Найдем соотношение между массовыми расходами бензина Qб и воздуха Qв при заданных размерах D и d и коэффициентах сопротивления воздушного канала (до сечения 2-2) ζв и жиклера ζж (сопротивлением бензотрубки пренебрегаем).

Записав уравнение Бернулли для потока воздуха (сечение 0-0 и 2-2), а затем для потока бензина (сечение 1-1 и 2-2), получим (при z1 = z2 и α = 1):

откуда

Учитывая, что массовые расходы и , получим

Таким образом обеспечивается постоянство соотношения расходов бензина и воздуха. Однако следует иметь в виду приближенный характер данного решения

^ Струйный насос (эжектор) состоит из плавно сходящегося насадка А (рисунок 3.10), осуществляющего сжатие потока, и постепенно расширяющейся трубки С, установленной на некотором расстоянии от насадка в камере В. Вследствие увеличения скорости потока давление в струе на выходе из насадка и по всей камере В и значительно понижается. В расширяющейся трубке скорость уменьшается, а давление возрастает приблизительно до атмосферного (если жидкость вытекает в атмосферу), следовательно, в камере В давление обычно меньше атмосферного, т.е. возникает разрешение (вакуум). Под действием разрежения жидкость из нижнего резервуары всасывается по трубе D в камеру В, где происходят слияние и дальнейшее перемешивание двух потоков.
^ 3.7 Режимы течения жидкости в трубах
Опыты показывают, что возможны два режима или два вида течения жидкостей и газов в трубах: ламинарный и турбулентный.

Указанные течения жидкости можно наблюдать на приборе, представленном на рисунке 3.11. Он состоит из резервуара ^ А с водой, от которого отходит стеклянная труба В с краном С па конце, и сосуда D с индикаторной подкрашенной жидкостью, которая может по трубке вводиться тонкой струйкой внутрь стеклянной трубы В.

Е
сли несколько приоткрыть кран С и дать возможность воде протекать в трубе с небольшой скоростью, а затем с помощью крана Е впустить индикаторную жидкость в поток воды, то увидим, что введенная в трубу подкрашенная жидкость не будет перемешиваться с потоком воды. Струйка краски будет отчетливо видимой вдоль всей стеклянной трубы, что указывает на слоистый характер течения жидкости и на отсутствие перемешивания. Пьезометр или трубка Пито, присоединенные к трубе, покажут неизменность давления и скорости по времени, отсутствие колебаний (пульсаций). Это так называемое ламинарное (слоистое) течение.

При постепенном увеличении скорости течения воды в трубе путем открытии крана С картина течения вначале не меняется, но затем при определенной скорости течения наступает быстрое ее изменение. Струйка подкрашенной жидкости по выходе из трубки начинает колебаться, затем размываться и перемешиваться с потоком воды, причем становятся заметными вихреобразования и вращательное движение жидкости. Пьезометр и трубка Пито показывают непрерывные пульсации давления и скоростей в потоке воды. Течение становится, как его принято называть, турбулентным (см. рисунок3.11, вверху).

Если уменьшить скорость потока, то восстановится ламинарное течение.

Итак, ламинарным называется слоистое течение без перемешивания частиц жидкости и без пульсаций скоростей и давления. При таком течении все линии тока определяются формой русла, по которому течет жидкость. При ламинарном течении жидкости в прямой трубе постоянного сечения все линии тока направлены параллельно оси трубы, т. е. прямолинейно; отсутствуют поперечные перемещения жидкости.

Турбулентным называется течение, сопровождающееся интенсивным перемешиванием жидкости и пульсациями скоростей и давлений. При турбулентном течении векторы скоростей имеют не только осевые, но и нормальные составляющие, поэтому наряду с основным продольным перемещением жидкости вдоль русла происходят поперечные перемещения (перемешивание) и вращательное движение отдельных объемов жидкости.

Режим течения данной жидкости в данной трубе изменяется при вполне определенной средней по сечению скорости течения υ кр, которую называют критической. Как показывают опыты, значение этой скорости прямо пропорционально кинематической вязкости v и обратно пропорционально диаметру d трубы, т. с.

.

Входящий в эту формулу безразмерный коэффициент пропорциональности k одинаков для всех жидкостей и газов, а также для любых диаметров труб. Это означает, что изменение режима течения происходит при определенном соотношении между скоростью, диаметром и вязкостью v:

k = υкр d/v.

Полученное безразмерное число называется критическим числом Рейнольдса и обозначается

Reкр = υкр d/v. (3.19)

Критическое число Рейнольдса Reкр не зависит от рода жидкости и размеров сечения, а лишь в небольшой степени определяется формой сечения и шероховатостью стенок трубы.

Таким образом, критическое число Рейнольдса является критерием, определяющим режим течения в трубах.

Как показывают опыты, для труб круглого сечения Reкр ≈ 2300.

Зная скорость движения жидкости, ее вязкость и диаметр трубы, можно расчетным путем найти число ^ Re и, сравнив его с Reкр , определить режим течения жидкости.

При Re < Reкр течение является ламинарным, при Re > Reкр — турбулентным. Точнее говоря, вполне развитое турбулентное течение в трубах устанавливается лишь при

Re ≥ 10000, а при Re = 2300 … 10000 имеет место переходная, критическая область.

На практике имеют место как ламинарное, так и турбулентное течения, причем первое наблюдается в основном в тех случаях, когда по трубам движутся весьма вязкие жидкости, например смазочные масла, второе обычно происходит в водопроводах, а также в трубах, по которым перетекают бензин, керосин, спирты, кислоты и другие маловязкие жидкости.

^ 3.8 Теория ламинарного течения в круглых трубах
Как указывалось ранее, ламинарное течение является строго упорядоченным, слоистым течением без перемешивания жидкости. Теория ламинарного течения жидкости основывается на законе трения Ньютона. Это трение между слоями движущейся жидкости является единственным источником потерь энергии в данном случае.

Рассмотрим установившееся ламинарное течение жидкости в прямой круглой цилиндрической трубе с внутренним диаметром d = 2r0. Чтобы исключить влияние силы тяжести и этим упростить вывод, допустим, что труба расположена горизонтально. Достаточно далеко от входа в нее, где поток уже вполне сформировался (стабилизировался), выделим отрезок длиной l между сечениями 1-1и 2-2.

Пусть в сечении 1-1 давление равно р1, а в сечении 2-2 р2.Ввиду постоянства диаметра трубы, скорость жидкости будет постоянной, а коэффициент а будет неизменным вдоль потока вследствие его стабильности, поэтому уравнение Бернулли для выбранных сечении примет вид
,

где hтр — потеря напора на трение по длине.


,

ч

Рисунок 3.12 - Схема ламинарного течения жидкости в трубе

то и показывают пьезометры, установленные в этих сечениях.
В потоке жидкости выделим цилиндрический объем радиусом r, соосный с трубой и имеющий основания в выбранных сечениях. Запишем уравнение равномерного движения выделенного объема жидкости в трубе, т.е. равенство нулю суммы сил, действующих на объем: сил давления и сопротивления. Обозначая касательное напряжение на боковой поверхности цилиндра через τ, получим

откуда

Из формулы следует, что касательные напряжения в поперечном сечении трубы изменяются по линейному закону в функции радиуса. Эпюра касательного напряжения показана на рисунке 3.12, слева.

Выразим касательное напряженно τ по закону трения Ньютона через динамическую вязкость и поперечный градиент скорости; при этом заменим переменное у (расстояние от стенки) текущим радиусом r:

Знак минус обусловлен тем, что направление отсчета r (от оси к стенке) противоположно направлению отсчета у (от стенки).
^


.

Найдем отсюда приращение скорости

При положительном приращении радиуса получается отрицательное приращение (уменьшение) скорости, что соответствует профилю скоростей, показанному на рисунке 3.12.

Выполнив интегрирование, получим

Постоянную интегрирования С найдем из условия, что на стенке при r = r0 υ = 0:

,

тогда скорость по окружности радиусом r

. (3.20)

Это выражение является законом распределения скоростей по сечению круглой трубы при ламинарном течении. Кривая, изображающая эпюру скоростей, является параболой второй степени.

Максимальная скорость, имеющая место в центре сечения (при r = 0),

. (3.21)

Входящее в формулу (3.20) отношение pтр/l (см. рисунок 3.12) представляет собой гидравлический (пьезометрический) уклон, умноженный на ρg. Эта величина является постоянной вдоль прямой трубы постоянного диаметра.

Применим полученный закон распределения скоростей, описываемый уравнением (3.20) для расчета расхода. Для этого выразим сначала элементарный расход через бесконечно малую площадку dS:

Здесь есть функция радиуса, определяемая формулой (3.20), а площадку dS целесообразно взять в виде кольца радиусом r и шириной dr, тогда

После интегрирования по всей площади поперечного сечения, т.е. от r = 0 до r = r0

(3.22)

Среднюю по сечению скорость найдем делением расхода на площадь. С учетом выражения (3.22) получим

(3.23)

Сравнение этого выражения с формулой (3.20) показывает, что средняя скорость при ламинарном течении в 2 раза меньше максимальной:

Для получения закона сопротивления, т.е. выражения потери напора hтр на трение через расход и размеры трубы, определим pтр из формулы (3.22)

Разделив это выражение на ρg, заменив µ на νρ и pтр на hтрρg, а также перейдя от r0 к

d = 2r0, найдем

(3.24)

Полученный закон сопротивления показывает, что при ламинарном течении в трубе круглого сечения потеря напора на трение пропорциональна расходу и вязкости в первой степени и обратно пропорциональна диаметру в четвертой степени. Этот закон, обычно называемый законом Пуазейля, используется для расчета трубопроводов с ламинарным течением.

Заменим в формуле (3.24) расход произведением . После сокращений получим

(3.25)

Данное выражение известно как закон Стокса. Приведем закон сопротивления Стокса к виду формулы Вейсбаха-Дарси:

.

Для этого умножим и разделим формулу (3.25) на , перегруппировав сомножители, после сокращений получим

,

откуда следует, что при ламинарном режиме

. (3.26)

где λл — коэффициент потерь на трение для ламинарного течения:

Изложенная теория ламинарного течения жидкости в круглой трубе хорошо подтверждается опытом, и выведенный закон сопротивления обычно не нуждается в каких-либо поправках, за исключением следующих случаев:

1) при течении в начальном участке трубы, где происходит постепенное формирование параболического профиля скоростей;

2) при течении с теплообменом;

3) при течении в капиллярах и зазорах с облитерацией;

4) при течении с большими перепадами давления.

Участок от начала трубы, на котором формируется (стабилизируется) параболический профиль скоростей, называется начальным участком течения (lнач). За пределами этого участка имеем стабилизированное ламинарное течение, параболический профиль скоростей остается неизменным, как бы ни была длинна труба, при условии сохранения ее прямолинейности и постоянства сечения. Изложенная выше теория ламинарного течения справедлива именно для этого стабилизированного ламинарного течения и неприменима в пределах начального участка.

Рисунок 3.13 - Формирование профиля скоростей на начальном участке


Для определения длины начального участка можно пользоваться приближенной формулой Шиллера, выражающей эту длину, отнесенную к диаметру трубы, как функцию числа Re:

. (3.27)

Сопротивление на начальном участке трубы получается больше, чем на последующих участках. Объясняется это тем, что значений производной dυ/dy у стенки трубы на начальном участке больше, чем на участках стабилизированного течения, а потому больше и касательное напряжение, определяемое законом Ньютона, и притом тем больше, чем ближе рассматриваемое сечение к началу трубы, т.е. чем меньше координата x.

Потеря напора на участке трубы, длина которого l lнач, определяется по формуле

(3.28)

Закономерности ламинарного течения с теплообменом и большими перепадами давления подробно рассмотрены в [1].

3.9 Турбулентное течение
3.9.1 Основные сведения
Турбулентное течение характеризуется перемешиванием жидкости, пульсациями скоростей и давлений. Если с помощью особо чувствительного прибора-самописца измерить и записать пульсации, например, скорости по времени в фиксированной точке потока, то получим картину, подобную показанной на рисунке 3.14. Скорость беспорядочно колеблется около некоторого осредненного υоср по времени значения, которое в данном случае остается постоянным.

Траектории частиц, проходящих через данную неподвижную точку пространства в разные моменты времени, представляют собой кривые линии различной формы, несмотря на прямолинейность трубы. Характер линий тока в трубе в данный момент времени также отличается большим разнообразием (рисунок 3.15).


Рисунок 3.14 - Пульсация скорости в турбулентном потоке

 



Рисунок 3.15 - Характер линий тока в турбулентном потоке

 

Таким образом турбулентное течение всегда является неустановившимся, так как значения скоростей и давлений, а также траектории частиц, изменяются по времени. Однако его можно рассматривать как установившееся течение при условии, что осредненные по времени значения скоростей и давлений, а также полный расход потока не изменяются со временем. Такое течение на практике считают приближенно стационарным или квазистационарным.

Распределение скоростей (осредненных по времени) в поперечном сечении турбулентного потока существенно отличается от того, которое характерно для ламинарного течения. Если сравним кривые распределения скоростей в ламинарном и турбулентном потоках в одной и той же трубе и при одном и том же расходе (одинаковой средней скорости), то обнаружим существенное различие (рисунок 3.16). Распределение скоростей при турбулентном течения более равномерное, а нарастание скорости у стенки более крутое, чем при ламинарном течении, для которого характерен параболический закон распределения скоростей.

В связи с этим коэффициент Кориолиса α, учитывающий неравномерность распределения скоростей в уравнении Бернулли при турбулентном течении значительно меньше, нежели при ламинарном. В отличие от ламинарного течения, где α не зависит от Re и равен 2, здесь коэффициент α является функцией Re и уменьшается с увеличением последнего от 1,13 приRe = Reкр до 1,025 при Re = 3·106. Как видно из графика, приведенного на рис. 3.17, кривая α при возрастании числа Re приближается к единице, поэтому в большинстве случаев при турбулентном течении можно принимать α = 1.

Так как при турбулентном течении отсутствует слоистость потока и происходит перемешивание жидкости, закон трения Ньютона в этом случае выражает лишь малую часть полного касательного напряжения. Благодаря перемешиванию жидкости и непрерывному переносу количества движения в поперечном направлении касательное напряжение τ0 на стенке трубы в турбулентном потоке значительно больше, чем в ламинарном, при тех же значениях числа Re и динамического давления ρυ2/2, подсчитанных по средней скорости потока.


Рисунок 3.16 - Профили скоростей в ламинарном и турбулентном потоках

Рисунок 3.17 - Зависимость коэффициента α от lg Re

 

В связи с этим потери энергии при турбулентном течении жидкости в трубах также получаются иными, нежели при ламинарном. В турбулентном потоке при Re > Reкp потери напора на трение по длине значительно больше, чем при ламинарном течении при тех же размерах трубы, расходе и вязкости жидкости, а следовательно, при одинаковых числах Re (ламинарный режим при этом неустойчив).

Если при ламинарном течении потеря напора на трение возрастает пропорционально скорости (расходу) в первой степени, то при переходе к турбулентному течению заметны некоторый скачок сопротивления и затем более крутое нарастание величины hтр по кривой, близко
Рисунок 3.18 - Зависимость hтр от υ и Q
й к параболе второй степени (рисунок 3.18).

Ввиду сложности турбулентного течения и трудностей его аналитического исследования до настоящего времени для него нет достаточно строгой и точной теории. В большинстве случаев для практических расчетов, связанных с турбулентным течением жидкостей в трубах, пользуются экспериментальными данными, систематизированными на основе теории гидродинамического подобия. Важное значение при этом имеет движение жидкости непосредственно на стенке трубы. Здесь имеется тонкий подслой, в котором превалируют силы вязкости, а движение происходит без перемешивания (см. рисунок 3.19). Этот слой называется ламинарным (вязким). В его пределах скорость круто нарастает от нуля на стенке до некоторой конечной величины υл на границе слоя. Толщина δл ламинарного слоя крайне невелика, причем оказывается, что число Re, подсчитанное но толщине δл, скорости υл и кинематической вязкости ν, есть величина постоянная, т. е.

.

Эта величина в соответствии с теорией гидродинамического подобия имеет универсальное постоянное значение подобно тому, как постоянно Reкp для течения в трубах. Поэтому при увеличении скорости потока и, следовательно, Re растет также скорость υла толщина δл ламинарного слоя уменьшается.


Рисунок 3.19 -. Ламинарный пристенный слой при турбулентном течении в трубе
Основной расчетной формулой для потерь напора при турбулентном течении в круглых трубах является уже приводившаяся выше эмпирическая формула, называемая формулой Вейсбаха— Дарси и имеющая следующий вид:

, (3.29)

где λт— коэффициент потерь на трение при турбулентном течении, или коэффициент Дарси.

Эта основная формула применима как при турбулентном, так и при ламинарном течении, различие заключается лишь в значениях коэффициента λ.
^ 3.9.2 Определение коэффициента потерь на трение. Исследования И. Никурадзе
Для определения λ при турбулентном режиме предложен ряд эмпирических и полуэмпирических формул, полученных многими авторами в результате исследования различных областей гидравлического трения. Однако фундаментальным исследованием стала работа И. И. Никурадзе, который в 1933 г. опубликовал результаты своих многочисленных опытов, представленных в виде особого графика.

В

Рисунок 3.20 – График Никурадзе
своих опытах Никурадзе исследовал напорное движение жидкости в круглоцилиндрических трубах, имеющих однозернистую равномерно распределенную (равнозернистую) шероховатость, которую он создавал путем наклеивания калиброванных песчинок высотой Δ на внутреннюю поверхность трубы.

Полученный Никурадзе график представляет собой семейство кривых, построенных в логарифмических координатах (по горизонтальной оси отложены величины lg ReD, а по вертикальной — lg 100λ) по точкам, соответствующим опытам с трубами с различной относительной шероховатостью Δr = Δ : D, от Δr = 0,00197 до Δr = 0,0666.

Рассмотрим подробно график Никурадзе (рисунок 3.20). Все поле графика можно условно разбить на пять областей.

^ Первая область — область ламинарного режима при Re < 2300, (lg Re≤3,36), здесь все опытные точки независимо от шероховатости уложились на одну прямую линию I, уравнение которой λ = 64 / Re.

^ Вторая область, расположенная между вертикалями III и IV, — область неустойчивого режима или переходная (числа Рейнольдса лежат в пределах от 2300 до 10000). Здесь возможно существование как ламинарного, так и турбулентного режимов, экспериментальные точки имеют значительный разброс.

^ Третья область — область гидравлически гладких труб» при турбулентном режиме, здесь толщина вязкого подслоя существенно больше высоты выступов шероховатости и турбулентное ядро потока не соприкасается с ними. Поэтому в этой области коэффициент λ = f (Re) не зависит от шероховатости. Область гладких труб представлена на графике прямой линией II, уравнение которой

. (3.30)

Эта эмпирическая формула была получена Блазиусом в 1913г. в результате обработки многочисленных опытов по исследованию движения жидкости в круглых гладких латунных трубах при числах Рейнольдса Re от 2300 до 100000.

^ Четвертая область — область турбулентного режима доквадратичного сопротивления шероховатых труб, лежит между прямой II и линией АВ, образованной точками, отделяющими горизонтальные участки кривых с некоторой заданной точностью. Можно видеть, что в этой области каждая кривая отвечает определенному значению относительной шероховатости. Здесь турбулентное ядро постепенно раскрывает шероховатость, поэтому имеет место наиболее общий случай λ = f (Re,Δr).

Пятая область — область турбулентного режима квадратичного сопротивления шероховатых труб, располагается правее и выше линий АВ. Здесь коэффициент λне зависит от числа Рейнольдса Re (все линии графика — прямые, параллельные горизонтальной оси). Коэффициент λ, а следовательно, и потеря напора hтр зависят от шероховатости λ = fr). Таким образом, как видно из формулы Вейсбаха - Дарси, для этой области сопротивления потеря напора по длине прямо пропорциональна квадрату средней скорости.

В заключение необходимо отметить, что общий качественный характер зависимостей коэффициента гидравлического трения λ, полученный Никурадзе для труб круглого сечения, распространяется и на другие потоки, в том числе ибезнапорные, что было подтверждено опытами А. П. Зегжды, в которых исследовалось безнапорное движение жидкости в лотке прямоугольного сечения, имеющего различную равнозернистую шероховатость. Важно также подчеркнуть, что после указанных работ отпала необходимость создавать особые расчетные зависимости для различных жидкостей, так как род жидкости учитывается числом Рейнольдса.
^ 3.9.3 Практические способы определения коэффициента гидравлического трения λ для напорных технических труб
Трубы, находящиеся в эксплуатации, подвергаются коррозии и покрываются различными отложениями, имеют разнозернистую шероховатость; выступы шероховатости различной формы и размеров, расстояние между ними неодинаковое (рисунок 3.20).

Опыты, проведенные рядом авторов с техническими трубами, показали, что характер зависимости коэффициента λ от числа Рейнольдса отличается от результатов, полученных Никурадзе, особенно в области доквадратичного сопротивления. Здесь в отличие от графика Никурадзе кривые Δr = const, опускаясь вниз, постепенно переходят от вида, соответствующего области гладкого сопротивления (где согласно формуле Блазиуса ), к виду, отвечающему области квадратичного сопротивления. Таким образом, в области доквадратичного сопротивления потеря напора по длине пропорциональна средней скорости υв степени 1,75 < т < 2,0. Такой постепенный переход объясняют тем, что в случае разнозернистой шероховатости при увеличении числа Рейнольдса, а следовательно, уменьшении толщины вязкого подслоя δ выступы шероховатости вступают в соприкосновение с турбулентным потоков не все одновременно, а сначала наиболее высокие, затем средние и только при числах Re, соответствующих квадратичной области сопротивления, вязкий подслой «раскрывает» все выступы шероховатости.

Имея в виду разнозернистую шероховатость, в расчетные зависимости для технических труб вводят некоторую среднюю высоту выступов, именуемую эквивалентной шероховатостью, которую обозначим .

При турбулентном режиме для определения коэффициента λ в случае движения жидкости в напорных технических трубах используются или экспериментальные графики, или эмпирические и полуэмпирические формулы. Эти формулы обычно рекомендуются для одной из соответствующих областей сопротивления, приведенных в предыдущем параграфе. Следовательно, прежде чем обращаться к той или иной формуле, необходимо установить область сопротивления, граничными условиями существования которой являются так называемые нижнее и верхнее предельные числа Рейнольдса.

Согласно А. Д. Альтшулю эти числа могут быть определены по приближенным формулам:

, ,

где .

В случае 10000 < Re < , где Re — число Рейнольдса, соответствующее рассматриваемому потоку, получаем практически область гладких труб, для которой обычно рекомендуются либо формула Л. Прандтля

, (3.31)

или более удобная формула Блазиуса

,

справедливая при числах Рейнольдса Re < 100000.

Область доквадратичного сопротивления отвечает числам Рейнольдса, лежащим в пределах

< Re< .

Для определения коэффициента λв этой области сопротивления рекомендуется обобщенная формула Кольбрука, которую он предложил в 1938 г., основываясь на своих опытах с учетом исследований других авторов

, (3.32)

или более удобная для вычислений формула А. Д. Альтшуля

. (3.33)

В случае Re ≥ имеем квадратичную область сопротивления, для которой формула упрощается и приобретает вид формулы Л. Прандтля для шероховатых труб

, (3.34)

а формула А, Д. Альтшуля (87) приводится к формуле Шифринсона .

Величину средней высоты выступов шероховатости , которая входит в расчетные формулы, установить непосредственным измерением практически невозможно, так как на распределение скоростей по сечению и касательные напряжения влияет не только высота выступов, но их форма, а также их шаг расположения на стенке. Поэтому значение для данной трубы находят экспериментально следующим образом. Рассматривая квадратичную область сопротивления опытным путем, пользуясь формулой Вейсбаха-Дарси (3.29), определяют для данной трубы величину λ. Затем по формуле (88) вычисляют искомое значение . Найденную таким образом величину называют эквивалентной шероховатостью, численные значения которой для разных труб приводятся в справочных таблицах.
^ 3.10 Местные гидравлические сопротивления
Местными гидравлическими сопротивлениями называются участки трубопроводов (каналов), на которых поток жидкости претерпевает деформацию вследствие изменения размеров или формы сечения, либо направления движения. Простейшие местные со­противления можно условно разделить на расширения, сужения, которые могут плавными и внезапными, и повороты, которые также могут плавными и внезапными. Но большинство местных сопротивлений являются комбинациями указанных случаев, так как поворот потока может привести к изменению его сечения, а расширение (сужение) потока — к отклонению от прямолинейного движения жидкости (см. рисунок 3.21, б). Кроме того, различная гидравлическая арматура (краны, вентили, клапаны и т.д.) практически всегда является комбинацией простейших местных сопротивлений. К местным сопротивлениям также относят участки трубопроводов с разделением или слиянием потоков жидкости.

Необходимо иметь в виду, что местные гидравлические сопротивления оказывают существенное влияние на работу гидросистем с турбулентными потоками жидкости. В гидросистемах с ламинарными потоками в большинстве случаев эти потери напора малы по сравнению с потерями на трение в трубах. В данном разделе будут рассмотрены местные гидравлические сопротивления при турбулентном режиме течения.

Потери напора в местных гидравлических сопротивлениях называются местными потерями. Несмотря на многообразие местных сопротивлений, в большинстве из них потери напора обусловлены следующими причинами:

·
искривлением линий тока;

·
изменением величины скорости вследствие уменьшения или увеличения живых сечений;

·
отрывом транзитных струй от поверхности, вихреобразованием.


Несмотря на многообразие местных сопротивлений, в большинстве из них изменение скоростей движения приводит к возникновению вихрей, которые для своего вращения используют энергию потока жидкости (см. рисунок 3.21, б). Таким образом, основной причиной гидравлических потерь напора в большинстве местных сопротивлений является вихреобразование. Практика показывает, что эти потери пропорциональны квадрату скорости жидкости, и для их определения используется формула Вейсбаха

.

При вычислении потерь напора по формуле Вейсбаха наибольшей трудностью является определение безразмерного коэффициента местного сопротивления . Из-за сложности процессов, происходящих в местных гидравлических сопротивлениях, теоретически найти удается только в отдельных случаях, поэтому большинство значений этого коэффициента получено в результате экспериментальных исследований. Рассмотрим способы определения коэффициента для наиболее распространенных местных сопротивлений при турбулентном режиме течения.

Для внезапного расширения потока (см. рисунок 3.21, б) имеется теоретически полученная формула Борда для коэффициента , который однозначно определяется соотношением площадей до расширения (S1) и после него (S2):

. (3.35)

Следует отметить частный случай, когда жидкость вытекает из трубы в бак, т. е. когда площадь сечения потока в трубе S1 значительно меньше таковой в баке S2. Тогда из формулы (3.35) следует, что для выхода трубы в бак = 1. Для оценки коэффициента потерь напора при внезапном сужении используется эмпирическая формула, предложенная И.Е. Идельчиком, которая также учитывает соотношение площадей до расширения (S1) и после него (S2):

. (3.36)

Для внезапного сужения потока тоже необходимо отметить частный случай, когда жидкость вытекает из бака по трубе, т. е. когда площадь сечения потока в трубе S2 значительно меньше таковой в баке S1. Тогда из (3.36) следует, что для входа трубы в бак = 0,5.

В гидравлических системах достаточно часто встречаются плавное расширение потока (рисунок 3.21, в) и плавное сужение потока (рисунок 3.21, г). Расширяющееся русло в гидравлике принято называть диффузором, а сужающееся - конфузором. При этом, если конфузор выполнен с плавными переходами в сечениях 1'-12'-2', то его называют соплом. Эти местные гидравлические сопротивления могут иметь (особенно при малых углах α) достаточно большой длины l. Поэтому кроме потерь из-за вихреобразования, вызванного изменением геометрии потока, в этих местных сопротивлениях учитывают потери напора на трение по длине.

Значения коэффициентов для плавного расширения и плавного сужения находят с введением поправочных коэффициентов в формулы (3.35) и (3.36): и .

Поправочные коэффициенты kp и kc имеют численные значения меньше единицы, зависят от углов α, а также от плавности переходов в сечениях и 1'-12'-2'. Их значения приводятся в справочниках.

Весьма распространенными местными сопротивлениями являются также повороты потоков. Они могут быть с внезапным поворотом трубы (рисунок 3.21, д)или с плавным поворотом (рисунок 3.21, е).

Внезапный поворот трубы (или колено) вызывает значительные вихреобразования и поэтому приводит к существенным потерям напора. Коэффициент сопротивления колена определяется в первую очередь углом поворота δ и может быть выбран из справочника.

Плавный поворот трубы (или отвод) существенно снижает вихреобразование и, следовательно, потери напора. Коэффициент для данного сопротивления зависит не только от угла поворота δ, но и от относительного радиуса поворота R/d . Для определения коэффициента существуют различные эмпирические зависимости, например,

, (3.37)

либо находятся в справочной литературе.

Коэффициенты потерь других местных сопротивлений, встречающихся в гидравлических системах, также могут быть определены по справочнику.

Следует иметь в виду, что два или более гидравлических сопротивления, установленных в одной трубе, могут оказывать взаимное влияние, если расстояние между ними менее 40d (d - диаметр трубы).
^ 3.11 Местные сопротивления при больших и малых числах Рейнольдса.

Метод эквивалентной длины
Ранее были рассмотрены местные гидравлические сопротивления, потери напора в которых пропорцио­нальны квадрату скорости или расхода. Однако квадратичный характер зависимости потерь - наиболее распространенный, но все же частный случай для местного сопротивления.

В

Рисунок 3.22 - Схема жиклера
машиностроительных гидросистемах встречаются местные сопро­тивления, внутри которых имеет место ламинарное течение. Поте­ри напора в таких сопротивлениях

пропорциональны скорости (или расходу) в первой степени, т.е. носят линейный характер. Кроме того, при ламинарном течении жидкости в трубах коэффициенты местных сопротивлений не всегда остаются постоянными. Указанные сопротивления встречаются существенно реже, чем сопротивления с квадратичной зависимостью потерь, и не имеют определяющего значения, но при расчете отдельных гидросистем их необходимо учитывать.

В качестве примера рассмотрим жиклер (рисунок 3.21), в канале которого существует ламинарное течение. Потери напора в жиклере будут складываться из потерь на трение в канале и потерь на внезапное расширение потока при выходе из этого канала. Причем первый вид из указанных потерь будет пропорционален скорости в первой степени (так как в канале ламинарное течение), а второй - квадрату скорости (потери на вихреобразование).

Если принимать во внимание оба вида потерь, то формула для коэффициента сопротивления жиклера будет иметь вид

. (3.38)

Это общее выражение для коэффициента любого местного сопротивления. Первое слагаемое в (3.38) учитывает линейные потери, а второе - квадратичные. Соотношение между первым и вторым слагаемыми зависит от геометрических размеров каждого конкретного сопротивления.

Использование зависимости (3.38) приводит к значительному усложнению при расчетах гидравлических систем. Однако практика показывает, что в подавляющем большинстве местных сопротивлений один из видов потерь существенно превышает второй, поэтому при проведении реальных расчетов одним из слагаемых формулы (3.38) пренебрегают.

На практике для местных сопротивлений с линейным законом сопротивления (или с законом, близким к линейному) часто применяют метод эквивалентной длины. Сущность этого метода заключается в том, что для местного сопротивления задаются эквивалентная длина и условный диаметр (или условная площадь сечения). Причем их значения выбираются такими, что потери напора в условном трубопроводе равны потерям в данном гидравлическом сопротивлении. Тогда потери в трубопроводе с таким местным сопротивлением можно рассчитать по обобщенной формуле Пуазейля

,

где lp = l +lэкв – расчетная длина трубопровода;

l – фактическая длина;

l’экв – эквивалентная длина.

К таким сопротивлениям относятся большинство фильтров, а также линейные дроссели и некоторые жиклеры.
^ 4 ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ И НАСАДКИ
4.1 Истечение через отверстие в тонкой стенке
Рассмотрим истечение жидкости через отверстие диаметром d0 в стенке бака, расположенное на глубине Н0, в газовую среду с некоторым давлением р1 (рисунок 4.1, a). При этом предполагается, что если отверстие мало по сравнению с размерами бака и глубиной Н0, то другие стенки бака и свободная поверхность жидкости не влияют на приток жидкости к отверстию.

Характер истечения в этом случае показан на рисунке 4.1, б. Частицы жидкости приближаются к отверстию из всего близлежащего объема, двигаясь по различным траекториям. Некоторые из них при попадании в отверстие должны изменить направление своего движения на 90°. Так как каждая частица имеет массу, то мгновенно изменить направление своего движения она не может. Следствием этого является сжатие струи жидкости при истечении. Процесс сжатия струи практически завершается на расстоянии, рав­ном примерно одному диаметру отверстия, и после этого струя приобретает цилиндрическую форму с диаметром поперечного сечения dc. Точно такими же будут условия истечения, если отвер­стие выполнено в толстой стенке со снятием фаски с внешней стороны.

 

Рисунок 4.1 - Схемы истечения жидкости через отверстие в тонкой стенке в газовую среду (а) и формирование струи (б)


Степень сжатия струи оценивается коэффициентом сжатия ε, равным отношению площади поперечного сечения струи к площади отверстия

. (4.1)

Определим расход Q жидкости через рассматриваемое отверстие. Для этого запишем уравнение Бернулли для двух сечений (см. рисунок 4.1, а):сечения 0-0 исечения 1-1. Сечение 0-0 — это от­крытая поверхность жидкости в баке, следовательно, в нем давление р0, а скорость жидкости можно считать равной нулю. Сечение 1-1 струи должно быть выбрано в той ее части, где струя уже приняла цилиндрическую форму; тогда в этом сечении давление равно давлению р1окружающей среды. Если в качестве плоскости сравнения выбрать горизонтальную плоскость, проходящую через ось отверстия, то получим

,

где α — коэффициент Кориолиса, учитывающий неравномерность распределения скорости по сечению 1—1 струи;

— средняя скорость жидкости в сечении 1—1;

— коэффициент сопротивления отверстия, учитывающий торможение частиц жидкости о входную кромку отверстия.

Перенесем первое слагаемое правой части уравнения в левую часть и обозначим ее как расчетный напор , тогда

;

отсюда средняя скорость истечения жидкости

, (4.2)

где — безразмерная величина, получившая название коэффициент скорости и определяемая по формуле

. (4.3)

В случае истечения идеальной жидкости (α = 1 и = 0) из формулы (4.3) следует, что = 1, т.е. скорость истечения идеальной жидкости

. (4.4)

Таким образом, на основании сравнения формул (4.3) и (4.4) можно сформулировать физический смысл коэффициента скорости . Это величина, равная отношению средней скорости истечения реальной жидкости к скорости истечения идеальной жидкости в тех же условиях. Очевидно, что при истечении реальной жидкости коэффициент всегда меньше единицы.

Расход Q при истечении определим как произведение средней скорости истечения реальной жидкости и фактической площади живого сечения струи. Используя формулы (4.1) и (4.3), получим

.

Произведение двух безразмерных коэффициентов и принято называть коэффициентом расхода и обозначать

. (4.5)

Тогда

. (4.6)

Из (4.6) следует, что

Таким образом, физический смысл коэффициента расхода состоит в том, что он численно равен отношению действительного расхода Q при истечении жидкости к тому расходу Qu, который имел бы место при отсутствии сжатия струи и сопротивления истечению.

Следует обратить внимание на то, что Qu не является расходом при истечении идеальной жидкости, так как идеальная жидкость отличается от реальной только отсутствием вязкости. Эффект же сжатия струи при истечении идеальной жидкости, связанный с инерционными свойствами частиц жидкости, в условиях отсутствия трения проявляется в еще большей степени.

На практике формула (4.6) используется достаточно редко из-за сложностей, возникающих при определении расчетного напора Hр, особенно в закрытых гидросистемах. Поэтому сделаем следующие преобразования. Обозначим внутри бака на уровне оси отверстия на некотором удалении от него (где скорость жидкости можно принять равной нулю) давление (см. рисунок 4.1, а), тогда перепад давления Δр, под действием которого происходит истечение жид­кости через отверстие, запишется в виде

.

Выразив из этой формулы напор Hpи подставив его в формулу (4.6), получим

. (4.7)

При помощи формулы (6.7) решается основная задача — определение расхода жидкости при истечении. Она широко применя­ется при расчетах элементов машиностроительных гидросистем.

Таким образом, нами введены в рассмотрение три коэффициента — , и , характеризующие процесс истечения жидкости. Все они являются функцией числа Рейнольдса Re. Однако для маловязких жидкостей (воды, бензина и др.), истечение которых, как правило, происходит при больших значениях Re, эти коэффициенты практически постоянны: = 0,64; = 0,97; = 0,62. При истечении минеральных масел через круглые отверстия в области квадратичного сопротивления можно принять = 0,65.
^ 4.2 Истечение под уровень
При течении жидкости в закрытых руслах часто приходится иметь дело с истечением жидкости не в газовую среду, а в пространство, заполненное этой же жидкостью (рисунок 4.2). Такое истечение называется истечением под уровень или истечением через затопленное отверстие.

Здесь, так же как и в предыдущем случае, при определении расхода Q следует составить уравнение Бернулли. Запишем его для сечений 1-1 и 2-2, в которых скорости движения жидкости при­нимаются равными нулю:


Рисунок 4.2 – Схема истечения жидкости через отверстие в тонкой стенке под уровень
,
где — потери напора при движении жидкости между сечениями 1-1 и 2-2.

При определении потерь напора в этом случае необходимо учитывать, что они складываются из двух составляющих:

,

где ho — потери напора на торможение частиц жидкости о входную кромку отверстия;

hв.р — потери напора на внезапное расширение в баке после прохождения жид­кости через отверстие.

Потери ho практически равны потерям при истечении через отверстие в газовую среду:

.

Следует иметь в виду, что при истечении под уровень вся кинетическая энергия струи, приобретенная частицами жидкости в от­верстии, при попадании в покоящуюся жидкость теряется на вихреобразование так же, как при внезапном расширении. Поэтому потери hв.р численно равны соответствующему скоростному напору, посчитанному по средней скорости жидкости в струе с учетом коэффициента Кориолиса α:

.

Таким образом, суммарные потери напора

.

Подставив полученное выражение в уравнение Бернулли, получим

.

Если в этом уравнении за расчетный напор принять выражение , то после преобразований можно получить формулу, определяющую значение средней скорости жидкости в сжатом сечении струи:

,

которая совпадает с формулой (4.2). Это значит, что, проводя дальнейшие преобразования, необходимые для получения формулы, определяющей расход Q при истечении, можно получить формулы (4.6) и (4.7).

Таким образом, как при истечении в газовую среду, так и при истечении под уровень расчетные формулы, определяющие расход Q, имеют один и тот же вид. Кроме того, как показала практика, коэффициенты , и , использующиеся в этих формулах, в обоих случаях истечения имеют одинаковые значения при равенстве соответствующих чисел Рейнольдса.
^ 4.3 Истечение через насадки
Анализ полученных формул (4.6) и (4.7) позволяет заключить, что увеличение расхода Q при истечении через отверстие с неизменными So и Hр, возможно при увеличении коэффициента рас­хода . Решению этой задачи служат насадки различной конструкции. Различают следующие типы насадков: цилиндрические (внешний и внутренний), конические (сходящийся и расходящийся), коноидальные и комбинированные.

^ Внешним цилиндрическим насадком называется короткая трубка или сверление в толстой стенке без обработки входной кромки (рисунок 4.3). Его длина l = (35) d, где d — диаметр отверстия.

На практике при истечении в газовую среду можно наблюдать два режима истечения жидкости через цилиндрический насадок: безотрывный (см. рисунок 4.3, а)и с отрывом потока от стенок (см. рис. 4.3, б).

Безотрывный режим истечения характеризуется тем, что внутри насадка поток жидкости вначале сжимается до некоторого минимального поперечного сечения, площадь которого можно опре­делить по значению коэффициента сжатия струи , взятого для случая истечения жидкости через отверстие в тонкой стенке, а затем расширяется до размеров отверстия в насадке. В итоге при таком режиме истечения из насадка на его выходе сжатие струи отсутствует ( = 1) и площадь сечения струи равна площади проходного сечения отверстия в насадке. Поэтому в данном случае при определении расхода Q по формуле (4.7) коэффициент расхода = .

Для этого случая при турбулентном режиме течения жидкости внутри насадка (α = 1) и коэффициенте потерь = 0,5 (потери напора определяются как потери при внезапном сужении) коэффициент расхода

.

Сравнение полученных коэффициентов скорости и расхода со значениями этих ко­эффициентов при истечении жидкости через отверстие в тонкой стенке ( = 0,97, = 0,62) показывает, что при безотрывном истечении через цилиндрический насадок расход Q получается больше, чем при истечении через такое же отверстие в тонкой стенке. Средняя скорость жидкости в потоке на выходе из насадка при этом получается меньше. Уменьшение скорости вызвано большими потерями напора в насадке по сравнению с потерями, которые возникают на входной кромке отверстия в тонкой стенке.

У

Рисунок 4.3 – Схемы истечения жидкости через внешний цилиндрический насадок:

а – безотрывный режим истече