Визначення оптимальної кількості й пропускної здатності ремонтних майстерень

З погляду теорії масового обслуговування ремонтні майстерні являють собою систему з необмеженим часом очікування.

Розглянемо визначення оптимального числа каналів і пропускної здатності майстерень для випадку, коли техніку привозять у майстерні.

Будемо вважати відомими:

— вартість майстерень С_м як функцію числа каналів обслуговування п:

С_м=k_с.м n

— вартість одиниці озброєння С_В;

— параметр пуассоновского потоку надходження заявок на ремонт λ від одного зразка озброєння, що визначається для мирного періоду надійністю озброєння, адля військового, крім того, іінтенсивністю ударів супротивника;

— параметр показового закону часу ремонту одного зразка μ.

При характеристиках потоку заявок ічасу обслуговування, зазначених вище, одержуємо середнє число зразків озброєння, ремонтируемых й ожидающих ремонту:

де

m -число бойових одиниць, що обслуговують.

З огляду на, що число справних одиниць у середньому повинне бути не менш заданого т_э, одержуємо, що з обліком ремонтируемых одиниць загальна їхня кількість т дорівнює

Вартість бойових одиниць

Вартість ремонтних майстерень визначається по формулі, написаної вище, і сумарна вартість (майстерень й озброєння) по формулі

При M = f(m, n, а), причому а задано, задача зводиться до знаходження такої пари т і п, при якій дотримується умова для m і З_Σ досягне мінімуму.

Практично задачу доводиться вирішувати шляхом підбора відповідних значень т і п у наступному порядку:

- задаємося n=1;

— задаємося т₁=т₃+1, обчислюємо Р_о, М і перевіряємо виконання умови для т;

— залежно від результатів рахунку задаємося новим значенням т

— розрахунок ведемо доти, поки не підберемо підходяще значення m;

— обчислюємо C_Σ при цих т і п;

— повторюємо весь цикл при новому п, збільшеному на одиницю, і т.д.;

— визначаємо таке п і відповідне йому т, при яких C_Σ мінімально.

Цей алгоритм легко реалізується на будь-який ЕОМ.

ЗАДАЧІ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ

Багато технічних пристроїв можуть розглядатися як системи масового обслуговування, тобто системи, у які у випадкові моменти часу «надходять заявки на обслуговування, а обслуговування триває випадкові відрізки часу. B результаті аналізу таких систем методами теорії масового обслуговування визначається ймовірність зайнятості системи.

Стосовно до дослідження операцій ці задачі мають багато загального із задачами вибору оптимальної надійності, тільки замість імовірності відмови тут фігурує ймовірність зайнятості системи (тобто відмови або затримки в обслуговуванні), а замість оптимальної надійності вибирається оптимальна пропускна здатність технічного пристрою.

Не зупиняючись навіть на конспективному викладі основ теорії масового обслуговування, приведемо декілька прикладів рішення технічних задач дослідження операцій, що ставляться до теорії масового обслуговування, думаючи, що якщо буде потреба читач ознайомиться хоча б з однієї із книг, присвячених теорії масового обслуговування, наприклад [36] або [44].

Приклад l.Потрібно визначити оптимальна кількість причалів порту, призначеного для прийому швидкопсувних вантажів (у випадку зайнятості причалу в момент прибуття корабля вантаж псується). Такі системи масового обслуговування, у яких заявка не може чекати, називаються системами з відмовами. Потік прибуття кораблів найпростіший і характеризується щільністю

λ=0,5 корабля/доба. Час розвантаження має експонентний розподіл, становлячи в середньому =2 доби. Вартість вантажу С₂=100 000 руб, вартість експлуатації причалу в добу, включаючи й капітальні витрати, C₁= 10000 руб.

Для даного випадку ймовірність відмови в обслуговуванні

(1)

де

п — число апаратів (ліній, причалів). Математичне очікування добових витрат

М = пС₁ + Р_пС₂. (2)

Результати розрахунків зведені в табл. 1.

Таблиця 1а=0,5*2=1

З дані таблиці видно, що оптимальне число причалів 3.

Приклад 2. Обчислювальний пристрій складається із системи запам'ятовування вступник інформації (ЗУ) (об'єм п повідомлень) і системи обробки інформації (ОИ), що обробляє передані із ЗУ повідомлення групами за середній час . Після обробки всіх повідомлень, що надійшли, блок обробки вибирає із ЗУ всі повідомлення, що нагромадилися за цей час. При заповненні "ЗУ повідомлення, що надійшло, губиться й витрати на його повторну посилку становлять С₂=0,002.

Густина надходження повідомлень λ=1 повідомлень/хв. Потрібно знайти оптимальні п й , якщо відомо, що вартість ЗУ й ОИ

C_3В = k_ЗУn = 150 n; (3)

С_ОИ=k_ОИ/=750/.(4)

Вони розраховані на експлуатацію протягом Т = 500 000 = 1 рік. Для даної системи, що називають системою з бункером, існує залежність

P_отк= (5)

Можна записати вираження для математичного очікування витрат за Т років (думаючи, що експлуатаційні витрати не залежать від п й , і тому зневажаючи ними):

(6)

Підставивши (5) в (6), після перетворень одержимо

(7)

Потрібно знайти мінімум М по двох змінним α і п. На жаль, аналітичні вираження для оптимальних α і п знайти не вдається, тому задачу доводиться вирішувати чисельним методом.

Задаємося п і відшукуємо мінімум М по α, потім задаємося наступної п и т. буд. Результати розрахунків М наведені в табл. 2.

Таблиця 2

З даних табл. 7.4. 2. видно, що оптимальним варіантом ;-є варіант із п = 2 й α = 3, тобто =3

Приклад 3. Розглянемо умови приклада 1, але з однією відмінністю: вантаж з моменту прибуття до початку розвантаження може, очікувати t= 2 доби, у противному випадку він губить свої якості. Це система з обмеженим часом очікування. У цьому випадку ймовірність того, що час перебування в черзі τ більше t,

(8)

Рівняння математичного очікування добових витрат за аналогією з (2) приймає вид

M=n₁+Pt_2. (9)

Таблиця 3.

Результати розрахунків при різних п за допомогою цього рівняння наведені в табл. 3.

З табл. 3 видно, що оптимальне число п і в цьому випадку залишається рівним 3, але витрати М помітно убувають.

Встановивши зв'язок між t (тобто .часом збереження вантажу) і вартістю необхідного для цього встаткування, можна вирішити й більше складну задачу - вибрати не тільки оптимальна кількість причалів, але й оптимальні характеристики встаткування для збереження вантажу.

Приклад 4. ЭЦВМ можна умовно розділити на дві частини: пристрою уведення й все інше. Відомий потік заявок, що надходять на пристрої уведення (λ = 5 заявок/хв). Якщо пристрій уведення зайнятий, то заявки очікують, поки воно не звільниться. Після обслуговування в першій фазі вони надходять у машину (друга фаза), де обслуговуються таким же порядком. Відомі функціональні зв'язки між середніми часами обслуговування заявок у фазах й їхній вартості (C₁ і С₂). Потрібно визначити оптимальні часи обслуговування у фазах, тобто такі часи, при яких для фіксованої вартості машини С одержують її максимальну пропускну здатність (тобто продуктивність).

Розглядувана система — двофазна система масового обслуговування з необмеженим часом очікування.

Для неї існує залежність, що зв'язує математичне очікування числа вимог, що перебувають у системі, з її характеристиками;

(10)

Нехай

(11)

і, крім того, C₁+ C₂=C. (12)

Таким чином, задача математично формулюється в такий спосіб. Мінімізувати М, обумовлене формулою (10), при дотриманні умови (12) і зв'язків (11).

Після відповідних підстановок і перетворень одержуємо

(13)

або

(14)

Взявши частинну похідну від М по _обс і дорівнявши її нулю, після досить громіздких викладень одержимо вираження для оптимальної величини t_o6c:

(15)

Нехай З =20 000 руб; k₁ = 2000 руб/хв; k₂ = 1000 руб/хв. Тоді

мін;

мін;

т. е. часи обслуговування в обох фазах повинні бути порівняно близькими.