Информационная мера степени изоморфности модели

Полученный общий показатель качества ММИ может быть использован для целенаправленного ее поиска в соответствии с работами [76, 84]. В качестве характеристики состоятельности выбора элемента модели заданного ПП по экспериментальным данным в выражении (2.1) используется понятие надежности как вероятности ошибочно отвергнуть модель на основании экспериментальных данных y. При этом модель М рассматривается как параметр распределения y и решается задача проверки гипотезы М = М₀ против любой из альтернатив М Î М, где М₀ – модель, используемая для интерпретации результатов измерения y, М – класс альтернативных моделей. Качество АОЭИ определяется надежностью выбора ММИ, то есть изоморфностью модели результатам эксперимента, и надежностью самой операции редукции измерения, которые определяются соответствующими рисками.

Для введения меры, характеризующей степень изоморфности выбранной ММИ, воспользуемся основными положениями теории информации [66]. Риск, характеризующий принятую модель М₀ Î М, определяется, в том числе, уровнем неопределенности в предсказании результата, к которому может привести выбранная модель М₀ при оценке состояния объекта. Задача выбора элемента модели ПП относится к классу задач по распознаванию образов, т.е. концептуально выбор элемента ММИ сводится к распознаванию состояния X_i объекта (образа) и выбор конкретного решения на основании распознанного состояния X_i по заданной классификации стандартных моделей М. Таким образом, рассматриваемая задача принятия решения относится к классу задач обучения распознаванию образов.

В задаче выбора элемента модели функция потерь равна нулю (принята правильная модель) либо величине ошибочно принятой оценки модели (принята неправильная модель). Эта особенность задачи минимизации риска выбора элемента модели и определяет специфику данного класса задач. Определённый таким образом риск для задачи классификации позволяет, исходя из общего определения риска, приведенного в разд. 1.2, представить риск выбора элемента модели в следующем виде [80]:

R_М(a) = R₀= R₀ R₁,

где R₀ – квадрат принятой оценки модели; R₁ – приведенный риск.

Для конкретизации введенного в соответствии с данным выражением понятия приведенного риска выбора элемента модели, рассмотрим функцию S(x₀) = P(х>х₀), определяющую вероятность преодоления уровня х₀ [87]. Если F(х) функция распределения случайной величины Х, то

S(х₀) = 1 – F(х₀). (2.8)

Если функция распределения F(х) абсолютно непрерывна, то обозначим через f(х) соответствующую плотность распределения случайной величины. Интенсивностью риска по элементам с распределением F(x) назовем функцию (х, x₀), характеризующую совместную плотность вероятности параметра x при условии его выхода за заданный предел x₀, которая определяется выражением (в соответствии с теоремой Байеса):

(х, x₀) = [f(x)×f_2|1(x > x₀|x)]/[(x)×f_2|1(x > x₀|x)dx],

где f_2|1(x > x₀|x) – представляет собой функцию-индикатор множества x>x₀. В связи с чем

(x)×f_2|1(x > x₀|x)dx = f_2|1(x>x₀|x)(x)dx

и, следовательно,

(х, x₀) == . (2.9)

При этом для функции S(x₀) из уравнения (2.9), с учетом выражения (2.8), следует

S(х₀) = exp[–(х, x₀)dx]. (2.10)

Интенсивность риска характеризует вероятность выхода переменной за предел х₀ на малом интервале [x₀, x₀ + x), при условии его достижения значения х₀ P(x₀ x < x₀ + x|x > x₀) = =(x₀)×x + o(x).

Определение. Под интегральной интенсивностью риска при выборе по экспериментальным данным элемента ММИ М₀ÎМ, с заданной областью ее значений D₀, понимается условная вероятность P(xÎD₁|D₀) попадания выходных параметров выбранной модели М₀ в диапазон D₁¹D₀.

Таким образом, интегральная интенсивность риска выбора элемента модели характеризуется, при выбранной оценке модели, вероятностью P(x Î D₁|D₀) при условии, что объект находится в заданном исходном диапазоне D₀ (условная вероятность), и диапазоном D₁, в который может попасть выходной параметр модели. Интегральная интенсивность риска определяет вероятность неправильной идентификации параметра x по экспериментальным данным и равна вероятности ошибки первого рода [114].

Продифференцировав равенство (2.10) по x₀, получаем

dS(x₀)/dx₀=–(x₀)×exp[–(х,x₀)dx].

После несложных преобразований имеем [ln f(x₀) – ln(x₀)] = (x, x₀)dх.

Усреднив интегральную интенсивность риска на интервале [0, х₀) по распределению f(х), получаем выражение для приведенного риска:

R₁^*(x₀) =(х₀)(x,x₀)dхdх₀ = (х₀)×ln dх₀. (2.11)

Таким образом, усредненный приведенный риск на заданном интервале усреднения [0, х) совпадает с выражением для энтропии Кульбака–Лейблера [66], то есть равен “функции различения” между статическим распределением f(x) и интегральной интенсивностью риска (x), которая равна плотности вероятности выхода переменной x за заданный предел x₀, что совпадает и с интуитивным пониманием риска. Подобно можно определить риск каждого элемента модели и ее отношений, что в итоге позволяет определить риск общей модели по выражению (2.1). Полученная информационная мера изоморфности (2.11) может быть обобщена для статических многомерных и динамических моделей. При этом входными переменными модели является векторная случайная величина X (Х₁,..., Х_i,..., Х_n), а выходными – векторная случайная величина Y (Y₁,..., Y_j,..., Y_m). Тогда риск j-й выходной переменной будет равен

R_M{Х₁,..., Х_n; Y}= R₀(х₁,..., х_n; у_j)log dхdу.

Согласно определению, величина R_M(Х₁,..., Х_n, Y_j} характеризует неопределенность выходной величине АОЭИ, которая определяется по вектору входных величин при рассмотрении их совместного влияния на параметр Y_j. Данное выражение согласуется с выражением (2.7), которое определяет надежность композиционной модели.