Шестиугольник Паскаля
Теорема Паскаля (1623—1662) – одна из основных теорем проективной геометрии – науки, рассматривающей общие закономерности проецирования объектов. Б. Паскалю не было еще 17 лет, когда он сформулировал эту теорему, отражающую общие свойства коник [Интернет].
Рассмотрим действие теоремы на примере имеющейся в AutoCAD’е коники – эллипса (можно взять окружность), для которого AutoCAD гарантирует предельную точность построения 10-8.
Привести пример построения шестиугольника Паскаля для штатного эллипса, вариант а) и б)
Постройте произвольный эллипс (ellipse). Нанесите на нем (привязка Nearest) маркеры шести точек. Проставьте рядом с маркерами номера точек в произвольной последовательности, то есть не обязательно в порядке их расположения. На рис. 1.9 показано как одни и те же точки на эллипсе пронумерованы различно. Вы можете расположить и пронумеровать точки иначе. Важно только, чтобы каждая точка принадлежала проверяемой линии. Для этого маркеры точки должны быть заданы с объектной привязкой Nearect.
Командой line соединяем точки отрезками прямых по порядку принятой нумерации, то есть в последовательности 1-2-3-4-5-6-1. Последний отрезок 6-1 замыкает ломаную линию, образуя шестиугольник Паскаля. Для каждого варианта нумерации образуется свой шестиугольник. Концы отрезков указываем с объектной привязкой Node по проставленным маркерам точек.
Находим три точки пересечения следующих пар отрезков: А=(1-2)∩(4-5); B= (2-3) ∩ (5-6); C=(3-4) ∩(6-1). Указанные точки могут находиться как на пересечении отрезков, так и на их продолжении.
 |
Согласно теореме Паскаля, если линия является коникой, то построенные точки A,B,C располагаются на одной прямой. Проверяем. Соединяем точки A,B,C отрезками прямых (line), указывая каждую точку с привязкой Intersection. Последовательность соединения точек такова, чтобы отрезки расположились последовательно, без перекрытия. Это C-A-B для примера на рис 1.9, а,б и A-C-B для рис. 1.9, в. Командой units задаем предельную точность измерения углов, равную 10-8. Командой list определяем свойства отрезков построенных отрезков, соединяющих точки A,B,C. Находим в выводимой информации для каждого отрезка угол с осью Х, измеренный в плоскости XY (Angle in XY Plane). Убеждаемся, что в рассмотренном примере для штатного эллипса эти углы равны между собой с предельной точностью, то есть проверяемые отрезки принадлежат одной прямой (прямой Паскаля).
Привести пример шестиугольника Паскаля для сплайна-эллипса. Для ранее построенного эллипсоида получить произвольное сечение и показать, что это плоская кривая. Построив для нее шестиугольник Паскаля, показать, что это коника. Точность по углу 10-3.