Тройной интеграл и его вычисление.

По аналогии с двойным интегралом вводится понятие тройного интеграла.

Рассмотрим ограниченную замкнутую пространственную область V и определённую в ней непрерывную функцию . Аналогично строится интегральная сумма по данному объёму и определяется тройной интеграл от функции по пространственной области V:

=

или

= .

Тройной интеграл обладает свойствами, аналогичными свойствами двойного интеграла.

Предположим, что область V является стандартной в направлении оси , т.е. удовлетворяет следующим условиям:

1) всякая прямая, параллельная оси и имеющая с данной областью общие точки, пересекает границу области только в двух точках;

2) проекция S области V на плоскость представляет собой стандартную область в направлении оси или оси .

Если стандартная область V ограничена сверху поверхностью , снизу ─ поверхностью , а проекция S области V стандартна в направлении оси и определяется неравенствами , , то

= .

Замечание 1.Если область S является стандартной в направлении оси и определяется неравенствами , , то

= .

Замечание 2.Если область V является стандартной в направлении каждой координатной оси и её проекции на координатные плоскости являются стандартными в направлении каждой соответствующей оси, то пределы интегрирования в трёхкратном интеграле можно расставить шестью различными способами.

Замечание 3.Если V ─ прямоугольный параллелепипед, определяемый неравенствами , , , то

= .

Пример.Вычислить , где V ─ параллелепипед, ограниченный плоскостями

Решение.По замечанию 3 имеем

===

= = = === =.

Пример 2.Вычислить интеграл , где V ─ пирамида, ограниченная плоскостью и координатными плоскостями (Рис.22.7.).

Решение.Область V проектируется на плоскости в треугольник АОВ, ограниченный прямыми . Имеем ==

==

=