Нормальное уравнение плоскости

Пусть дана плоскость. Проведем через начало координат прямую, перпендикулярную к плоскости (нормаль), и обозначим через P точку пересечения плоскости и нормали. На нормали введем положительное направление, обозначим углы, которые составляет нормаль с осями координат через , тогда - единичный вектор в направлении . На плоскости возьмем произвольную точку M(x, y, z), .

Проекция вектора на нормаль равна

.

Если известна длина отрезка OP = p, то уравнение задает нормальное уравнение плоскости в виде:

,

где - направляющие косинусы нормали к плоскости,

а p – расстояние от плоскости до начала координат.

Приведем общее уравнение плоскости к нормальному виду.

Так как эти уравнения определяют одну и ту же плоскость, то их коэффициенты пропорциональны: .

Из условия , которому удовлетворяют направляющие косинусы вектора, следует, что . Введем так называемый нормирующий множитель , знак которого определяется из условия , то есть должен быть противоположен знаку свободного члена нормируемого уравнения. Домножением на нормирующий множитель общее уравнение плоскости приводится к нормальному виду: