В определенном интеграле.
В.2. Замена переменной и интегрирование по частям
В.1. Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть функция непрерывна не отрезке
и
любая первообразная функция на этом отрезке. Тогда определенный интеграл от функции
на отрезке
равен приращению первообразной на данном отрезке.
- приращение первообразной на данном отрезке
То есть нахождение определенного интеграла с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа:
1. Используя технику нахождения неопределенного интеграла находим первообразную подынтегральной функции.
2. Вычисляем приращение первообразной на заданном отрезке.
Пример 1:
Метод замены переменной для определенного интеграла.
Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке
, а также
и функция
непрерывна в любой точке
, где
.
Тогда формула для замены переменной выглядит следующим образом:
Замечание: в случае определенного интеграла нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования.
Пример 2: Вычислить
Метод интегрирования по частям для определенного интеграла
Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке
, тогда формула интегрирования по частям:
где - приращение: