Доказательство.

Сведение кратных интегралов к повторным интегралам.

1˚.Напомним, что множество называется простым в данном направлении, если пересечение с любой прямой этого направления представляет собой отрезок, точку или пустое множество. Если множество простое по направлению , то его граница состоит из кривых , и, возможно, отрезков прямых , т.е. .

Теорема 1.Пусть , и пусть существует двойной интеграл . Предположим ещё, что при любом фиксированном значении существует определённый интеграл . В таком случае существует и повторный интеграл . При этом

.

1-я часть.Пусть сначала − прямоугольник . Рассмотрим разбиения и . Обозначим , и . Тогда будет

и . Суммируя и , получаем . Крайние члены полученного неравенства − суммы Дарбу для интеграла . Как мы знаем, они стремятся к этому двойному интегралу , где − мелкость разбиения . Следовательно, существует повторный интеграл , то есть интеграл и он совпадает с двойным интегралом . Ч.и т.д.

2-я часть.Ограниченное множество можно дополнить до прямоугольника . Доопределим функцию следующим образом: . Ясно, что функция интегрируема в прямоугольнике и что (свойство аддитивности интеграла). Кроме того, . Следовательно, согласно 1-й части, .