Вычисление радиуса сходимости.
Признак Вейерштрасса (равномерной сходимости функционального ряда).
Функциональный ряд сходится равномерно в области сходимости, если он является мажорируемым в этой области.
Другими словами, если функции в некоторой области не превосходят по абсолютной величине соответствующих положительных чисел и если числовой ряд сходится, то функциональный ряд в этой области сходится равномерно.
Пример. Доказать равномерную сходимость функционального ряда .
Решение. . Заменим общий член этого ряда общим членом числового ряда, но превосходящего каждый член ряда по абсолютной величине. Для этого надо определить , при котором общий член ряда будет максимальным.
.
.
Тогда .
Полученный числовой ряд сходится, значит, функциональный ряд сходится равномерно согласно признаку Вейерштрасса.
Пример. Найдите сумму ряда .
Для нахождения суммы ряда воспользуемся известной формулой для суммы геометрической прогрессии
Дифференцируя левую и правую части формулы (1), получим последовательно
Выделим в сумме, подлежащей вычислению, слагаемые, пропорциональные первой и второй производной:
.
Вычислим производные:
тогда
Степенные ряды.
Среди функциональных рядов есть класс степенных и тригонометрических рядов.
Определение. Функциональный ряд вида
называется степенным по степеням . Выражения - постоянные числа.
Если ряд является степенным по степеням .
Область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.
Теорема. Если степенной ряд сходится в точке , то он сходится и притом абсолютно для всякого значения , по абсолютной величине меньшего , то есть или в интервале .
Доказательство.
Вследствие сходимости рада его общий член должен стремиться к нулю, поэтому все члены этого ряда равномерно ограничены: существует такое постоянное положительное число , что при всяком имеет место неравенство .
Тогда данный ряд можно записать так:
В силу сделанного замечания можно записать ряд
, который образует геометрическую прогрессию со знаменателем . Если , то , и прогрессия сходится. Если больший ряд сходится, то будет сходиться и данный ряд. Теорема доказана.
Следствие. Если степенной ряд расходится при значении , то ряд расходится при всяком значении , большем по абсолютной величине , .
Из теоремы Абеля и следствия из этой теоремы вытекает следующее предположение. Для каждого степенного ряда, имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости, существует такое положительное число , что для всех , , ряд абсолютно сходится, а для значений , , ряд расходится.
Что касается значений или , то здесь возможны ситуации, когда ряд сходится в обеих точках, или только в одной из них, или ни в одной.
Определение. Число такое, что для всех , , степенной ряд сходится, а для всех , , расходится, называется радиусом сходимости ряда, а интервал называется интервалом сходимости.
Для ряда интервал сходимости имеет вид с центром в точке
Для ряда интервал сходимости имеет вид с центром в точке
-R cx. R x
расх 0 расх
В граничных точках поведение ряда требует дополнительного исследования.
Можно указать правило для нахождения радиуса сходимости степенного ряда.
Теорема. Если существует предел , то радиус сходимости ряда равен , то есть , причем считаем , если , и , если .
Доказательство.
Предположим, что , то есть рассмотрим числовой ряд , который является рядом абсолютных величин данного степенного ряда.
Тогда :
1. Пусть - конечное число, отличное от нуля, значит, . По радикальному признаку Коши ряд, составленный из абсолютных величин ряда, сходится при , отсюда следует, что . При и ряд расходится для всех значений .
В самом деле, если бы при , , ряд сходился, то по теореме Абеля для , где , он должен был бы сходиться, чего быть не может. Таким образом, ряд сходится при и расходится при и, значит, .
2. Пусть . Тогда при всяком значении , и ряд сходится для любого . Значит, ряд абсолютно сходится во всякой точке оси и .
3. Пусть . Тогда при всяком значении , , и значит, ряд не может сходиться ни при каком . На основании теоремы Абеля заключаем, что ряд во всех точках оси (кроме нулевой) расходится и .
Теорема. Если , то радиус сходимости ряда равен , то есть , причем мы считаем при и при .
Степенные ряды в области сходимости сходятся абсолютно и поэтому можно использовать признаки сходимости рядов с положительными членами.
1. По признаку Даламбера:
Ряд сходится, если , отсюда радиус сходимости - .
2. По интегральному признаку Коши:
Ряд сходится, если , отсюда следует, что .
Пример. Найдите область сходимости рядов: 1) и 2) .
1) .
Интервал сходимости
Исследуем граничные точки.
расходится;
- сходится условно по признаку
Лейбница.
Область сходимости ряда .
2) , ряд сходится при всех .