Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Рис.18

Рис.17

Кривая распределения давления Р ( r ) при нелинейном законе фильтрации (3.49) имеет форму гиперболы, следовательно, воронка депрессии будет гиперболоидом вращения; крутизна воронки депрессии у стенки скважины будет больше, чем у логарифмической кривой (3.24) при линейном законе фильтрации.

Изменение скорости фильтрации вдоль линии тока V(r) подчиняется гиперболическому закону, как при нелинейной фильтрации (3.51), так и при линейной (3.26).

Следует отметить, что в реальных условиях нельзя считать, что во всем пласте - от контура питания до стенки скважины - справедлив единый нелинейный закон фильтрации с постоянным значением показателя степени n . Нарушение линейного закона фильтрации начинается прежде всего вблизи забоя скважины, в то время как в остальной части фильтрационного потока может сохраняться закон Дарси. По мере увеличения дебита скважины область с нелинейной фильтрацией будет расширяться. Поэтому в этих случаях необходимо пользоваться двучленной формулой (законом) фильтрации (1.22), которая для плоскорадиального потока имеет вид

, (3.52)

где .

Выражая скорость фильтрации через дебит

,

перепишем (3.52) в виде

,

откуда, разделяя переменные, получим

.

Интегрируя последнее уравнение в пределах от r до R_k, от P до P_k и от r_c до R_{к ,} от P_c до Р_к , находим соответственно:

; (3.53)

. (3.54)

Из (3.54) дебит Q находится как положительный корень квадратного уравнения, из которого видно, что индикаторная линия Q = Q (DР_с) в этом случае является параболой.

По предложению Е.М.Минского, уравнение (3.54) удобно представить в виде

, (3.55)

где . (3.56)

Тогда индикаторная диаграмма представляется прямой линией в координатах (рис.18).

Построив промысловым методом индикаторную диаграмму (рис.18), находим параметры А = ОМ и В = tg j для последующего нахождения фильтрационных характеристик продуктивного пласта из выражений (3.56).