К началу К следующей лекции
Таблица 3.1
2. | 9. |
2. | 10. |
3. | 12. |
4. | 12. |
5. | 13. |
6. | 14. |
7. | 15. |
8. | 16. |
В силу определения (3.2) отыскание неопределенного интеграла сводится к нахождению одной из первообразных подынтегральной функции f(x). Поскольку , то интегрирование является операцией обратной дифференцированию.
Чтобы проверить правильно ли выполнено интегрирование необходимо продифференцировать результаты и получить подынтегральную функцию.
Согласно (3.2) имеем:
а)
б)
в)
г) (3.3)
д) . (3.4)
Справедливость свойств интегралов г) и д) и следующих равенств проверяется дифференцированием обеих частей:
(3.5)
(3.6)
(3.7)
Пример 1. Найти
Здесь использовали формулу (3.7) и табличный интеграл 4 (см. табл. 3.1).
Пример 2. Найти
3.3. Основные методы интегрирования
1. Метод разложения
Используя свойства подынтегральной функции, преобразуем ее к виду
f (x) = af1(x) + bf2(x)
и представим искомый интеграл на основании формул (3.3) и (3.4) в виде суммы более простых, желательно табличных интегралов:
Пример 3. Найти
Подынтегральная функция уже представлена в виде суммы трех слагаемых, поэтому используя формулы (3.3) и (3.4), получим:
Пример 4. Найти
Представим подынтегральную функцию в виде суммы слагаемых:
Тогда
Искомый интеграл удалось разложить на сумму двух табличных интегралов.
Пример 5. Найти
Так как Тогда
Пример 6. Найти
Для преобразования подынтегральной функции f(x) воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени:
Тогда
2. Метод замены переменной
Этот метод позволяет заменить переменную в неопределенном интеграле с помощью подстановок двух видов.
Первый вариант подстановки. Если x = j(t) непрерывна вместе со своей производной, то справедливо равенство
(3.8)
называемое формулой замены переменной. Как и всякое интегральное равенство, оно проверяется дифференцированием обеих частей.
Функция x = j(t) выбирается из соображений упрощения искомого интеграла. После интегрирования необходимо вернуться к старой переменной подстановкой
Пример 7. Найти
Воспользуемся методом замены переменной, чтобы освободиться от иррациональности:
Найдя интеграл от новой переменной t, необходимо затем вернуться к старой переменной х.
Второй вариант подстановки. В большинстве случаев целесообразно за новую переменную t принять некоторую функцию от х, т.е. Формула замены переменной в этом случае имеет вид:
(3.8¢)
Пример 8. Найти
Чтобы произвести замену переменной, воспользуемся формулой (3.8¢):
Подстановка выбрана удачно, так как с ее помощью искомый интеграл привели к табличному (см. табл. 3.2. п. 1).
Пример 9. Найти
При выборе удачной подстановки, сводящей искомый интеграл к табличному, полезно обратить внимание на следующие соотношения, позволяющие подвести множитель под знак дифференциала.
Например, учитывая, что , найдем:
=
В таком случае можно и не вводить явное обозначение новой переменной. Полезной для нахождения многих интегралов является приводимая ниже табл. 3.2.
Таблица 3.2
2. | 7. |
2. | 8. |
3. | 9. |
4. | 10. |
5. | 12. |
6. | 12. |
Так, в примере 9, учитывая, что искомый интеграл примет вид:
Здесь х4 приняли за новую переменную без обозначения ее буквой t. Необходимость возвращаться к старой переменной отпадает.
Пример 10. Найти
Заметим, что Теперь выделим в числителе производную знаменателя:
Таким образом, можно принять за новую переменную.
Тогда
Пример 11. Найти
Заметим, что и sin2 x можно принять за новую переменную.
Тогда:
При решении дополнительно воспользовались формулой (3.6).
Замечание. В большинстве случаев при отыскании неопределенных интегралов можно применять сочетание методов разложения и подстановки (замены переменной).
Пример 12. Найти
Сначала воспользуемся методом замены переменной:
Для отыскания интеграла J1 используем теперь метод разложения:
Окончательно получим:
, где С = 2С2.
Пример 13. Найти
Воспользуемся результатом примера 6:
Окончательно получим:
где С = 4С2.
Пример 14. .
Пример 15. Найти .
Пример 16. Найти
3. Метод интегрирования по частям
Интегрируя выражение получим: или
Эта формула интегрирования по частям. Здесь U(x) и V(x) – дифференцируемые функции х.
Выражение f(x)dx необходимо так разбить на сомножители U и dV, чтобы нахождение V и интеграла было проще, чем вычисление исходного интеграла.
В случае интегралов вида
берем или или ,
а для интегралов
берем или или или , а
Пример 17. Найти
Применим метод интегрирования по частям. U и dV берем согласно рекомендациям:
Пример 18. Найти
Найдем интеграл J1 методом замены переменной. Учитывая, что примем за новую переменную.
Окончательно получим:
, где С = -С2.
Пример 19. Найти
В этом случае за U следует обозначить lnx.
В некоторых случаях при интегрировании по частям можно и не вводить явно U и V.
Например,
Пример 20. Найти
В этом случае формула (2.9) интегрирования по частям применяется дважды.
Пример 21. Найти
Таким образом, получили уравнение относительно неизвестного интеграла J. Искомый интеграл найдем, решив это уравнение: откуда получим:
где
Аналогично вычисляются: .
Анализ этих примеров показывает, что интегрирование по частям состоит из следующих шагов:
1) разбиение f(x)dx на U и dV;
2) нахождение V и dU;
3) применение формулы (2.9);
4) нахождение
При необходимости интегрирование по частям выполняется неоднократно.
Например, для оно выполняется три раза. Этот пример решить самостоятельно.
3.4. Интегрирование рациональных функций
Рациональная дробь называется правильной, если m < n, т.е. степень n многочлена Qn(x) больше, чем степень m многочлена Pm(x). При делим на Qn(x) по правилу деления многочленов и представляем рациональную дробь как сумму многочлена и правильной дроби.
Дроби вида называются простейшими. Здесь
Простейшие дроби интегрируются следующим образом:
Пример 22.
Выделим в числителе производную знаменателя:
Тогда получим:
Правильные рациональные дроби интегрируются разложением на сумму простейших дробей.
Вид разложения правильной дроби на простейшие зависит от типов множителей, входящих в разложение многочлена Q(x) на множители, а именно:
1) каждому линейному множителю х-а отвечает дробь
2) каждому линейному множителю х-а кратности k отвечает сумма дробей:
+
3) каждому квадратичному множителю отвечает слагаемое:
4) каждому квадратичному множителю кратности k отвечает сумма дробей:
Пример 23. Найти
Разложим многочлен на линейные и квадратичные множители:
Пользуясь рекомендациями, разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей:
(3.10)
Определим неизвестные коэффициенты А, В и С, используя так называемый метод неопределенных коэффициентов. Для этого приводим дроби в равенстве (3.10) к общему знаменателю. Затем, чтобы освободиться от знаменателей, умножим обе части равенства на
В результате получим:
(3.11)
Два многочлена тождественно равны в случае, если коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного тождества равны.
В нашем случае:
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему линейных уравнений:
х2 | А | + | В | + | С | = | |
х1 | 3А | + | 2В | + | С | = | |
х0 | 2А | = | -3. |
Решив эту систему, найдем: , В = 2, .
Тогда разложение подынтегральной дроби на простейшие примет вид:
Таким образом,
Замечание 2. В случае простых корней знаменателя дроби неизвестные коэффициенты находятся особенно легко – подстановкой в тождество (2.11) в качестве частных значений многочленов этих корней: х1 = 0, х2 = 1 и х3 = 2:
х1 = 0 | -3 = 2А, | А = |
х2 = 1 | -2 = -В, | В = 2 |
х3 = 2 | 1 = 2С, | С = |
Замечание 2. Возможно и сочетание обоих методов (метода сравнения коэффициентов и метода частных значений).
Пример 24. Найти
Подынтегральная функция может быть разложена на сумму простейших дробей:
Отсюда имеем:
Подставим в тождество сначала частные значения. Так х = -1 является простым корнем знаменателя:
х = -1 | 1 = А |
х = 0 | 0 = А + С + Е, откуда С + Е = -2. |
Теперь приравняем в тождестве коэффициенты при одинаковых степенях х:
х4 | 0 = А + D, откуда D = -1 |
х3 | 0 = 2А + 2D + Е, откуда E = 0, тогда С = -1 |
х2 | 1 + 3А + 2D + 2E + B, откуда В = 0. |
Следовательно,
Тогда:
Найдем сначала интеграл
Для отыскания интеграла J2 используем рекуррентную формулу:
Тогда:
Здесь выполнена подстановка где
Окончательно получим:
где .
Приведем схему разложения правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей:
1) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители;
2) разложить подынтегральную дробь на сумму простейших дробей, но с неопределенными коэффициентами (тип простейшей дроби зависит от множителя, входящего в знаменатель);
3) для отыскания неопределенных коэффициентов привести полученное равенство к общему знаменателю, затем освободиться от знаменателей;
4) составить систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов и решить ее;
5) найденные коэффициенты подставить в разложение подынтегральной дроби на сумму простейших дробей.
Пример 25. Найти
Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, и она может быть представлена в виде суммы простейших дробей:
Отсюда
Неизвестные коэффициенты А, В, С найдем из системы:
х3 | 0 = В + С |
х2 | 0 = А + В + D + 2C |
x1 | 1 = 3B + C +2D |
x0 | 7 = 3A + 3В + 3D. |
Решив эту систему, найдем
Искомое разложение примет вид:
Таким образом, +
В некоторых случаях удается проинтегрировать рациональную дробь, не разлагая ее на сумму простейших дробей, а более простым способом.
Например, для подынтегральную функцию можно разложить на сумму простейших дробей. Так как то имеем разложение:
Такое разложение нецелесообразно, так как для нахождения неизвестных коэффициентов придется составить и решить систему 7-ми линейных уравнений с 7-ю неизвестными, что приведет к громоздким вычислениям.
Разложить подынтегральную функцию на интегрируемые слагаемые можно и другим способом:
Тогда искомый интеграл примет вид:
В последнем интеграле, учитывая, что
за новую переменную приняли 1 + х2.
3.5. Интегрирование иррациональных функций
1. Интегралы вида где R – рациональная функция своих аргументов, приводятся к интегралам от рациональных дробей подстановкой где k – наименьшее общее кратное чисел
2. Интегралы вида
где R – рациональная функция своих аргументов, приводятся к интегралам от рациональных дробей подстановкой где k – наименьшее общее кратное чисел
3. С помощью тригонометрических подстановок можно находить интегралы:
находится подстановкой
находится подстановкой
находится подстановкой
Пример 26. Найти
Здесь поэтому k = 4. Искомый интеграл находим с помощью подстановки
Тогда:
3.6. Интегрирование тригонометрических функций
Интегралы вида с помощью универсальной тригонометрической подстановки сводятся к интегралам от рациональных функций.
Пусть . Тогда имеем
Здесь - рациональная функция от sinx и cosx.
Пример 27. Найти
Применим универсальную тригонометрическую подстановку
Тогда получим:
и
Искомый интеграл примет вид:
Подстановка часто приводит к сложным выражениям, и поэтому в зависимости от вида функции применяются другие подстановки:
1)
2)
3)
4) если sinx и cosx входят только в четных степенях, по применяется подстановка
При этом
5) где m и n – целые числа.
Если и оба числа четные, то применяются тригонометрические формулы понижения степени, упрощающие исходный интеграл:
Если, по крайней мере, одно из чисел нечетное, то имеем случай 1) или 2).
Если оба числа четные и хотя бы одно из них отрицательное, то следует делать замену
Пример 28. Найти .
Пример 29. Найти
В этом примере n = -1 – нечетное. Поэтому используем подстановку Тогда
6) интегралы , , находятся с помощью преобразования произведения в сумму или разность:
Пример 30. Найти
Преобразуем произведение тригонометрических функций в сумму, используя последнюю формулу:
Пример 31. Найти
Разложим подынтегральную функцию на сумму интегрируемых слагаемых:
Тогда получим:
Здесь использовали в первом интеграле, что
При отыскании второго интеграла использовали метод интегрирования по частям: