Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии.

Дано: случайная величина x распределена по нормальному закону, для которого известна дисперсия s ².

Делается выборка объема n. Вычисляем . Покажем, что M = a и D=.

Выборка x₁, x₂, ..., x_n рассматривается как совокупность n независимых случайных величин, распределенных так же как x, следовательно,

Mx₁ = Mx₂ = ... = Mx_n = а Dx₁ = Dx₂ = ... = Dx_n = σ².

также случайная величина и распределена по нормальному закону в силу теоремы — сумма нормально распределённых случайных величин распределена по нормальному закону.

М=М () = M (+ + … + ) = M () + M () + … + M () = M () = ^. n ^. a = a

D= D () = = = ^. n ^. σ² = .

Итак, → N (a; ) .

Подберем по заданной надежности g число δ > 0 так, чтобы выполнялось условие:

P( |– a| < δ ) = g. (1)

Так как случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием a и дисперсией s ²/n, получаем:

P(|– a| < δ) =P(a – δ < < a + δ) =

= + Ф– + Ф= 2Ф

2Ф= g, Ф.

Обозначим = . Функция Ф(x) непрерывна и возрастает на интервале [ 0; +∞) от 0 до 0,5, поэтому для любого числа g Î[0;1] существует единственное число такое, что F()= g / 2. Это число называют квантилем нормального распределения, и в конкретных примерах оно подбирается по таблицам нормального распределения функции Лапласа.

Теперь из равенства = определим значение : = . Окончательный результат получим, представив формулу (1) в виде:

P(< a < ) = g.

Другими словами, с надежностью g доверительный интервал

(;)

покрывает неизвестное значение параметр a = Mx генеральной совокупности. Можно сказать иначе: точечная оценка даёт значение параметра Mx с точностью = и надежностью g.

Задача 1. Пусть имеется генеральная совокупность, распределенная по нормальному закону с дисперсией s ², равной 6,25. Произведена выборка объема n = 27 и получено средневыборочное значение = 12. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание исследуемой характеристики генеральной совокупности с надежностью g =0,99.

Решение. Сначала по таблице для функции Лапласа найдем значение из уравнения F() = g / 2, F() = 0,495. По полученному значению = 2,58 определим точность оценки = 2,5´2,58 / » 1,24. Отсюда получаем искомый доверительный интервал:

θ ₁ = = 12 1,24 = 10,76

θ₂ = = 12 1,24 = 13,24, (10,76; 13,24).