Расчет емкостного измерительного преобразователя методом конформных преобразований и непосредственного определения напряженности поля


Пути повышения технических характеристик емкостных ПИП

Емкостные ПИП для микромеров: основные понятия и определения, физические основы и классификация по измеряемой емкости, функциональные схемы и их расчетные модели

 

Емкостные микромеры содержат емкостный ПИП, преобразующий геометрические размеры в емкость и измеритель емкости, шкала которого отградуирована в единицах измеряемой величины. Относятся к пассивным ПИП.

Характер и степень изменения емкости зависит от количества электродов, их потенциалов и геометрических размеров контролируемого образца. Датчик является 3-х электродным, если между его обкладками поместить контролируемый образец. При этом рассматривается 4 случая исходных схем ПИП.

1 – высокопотенциальный электрод

2 – низкопотенциальный электрод

3 – контролируемый образец

С0 – конденсаторная емкость

С12 – взаимочастичная емкость

С123 – полная емкость

С13 – взаимочастичная емкость

 

Связь между потенциалами и зарядами электродов определяется системой уравнений:

Q1 = C12 (V1 -V2) +C13 (V1 -V3)

Q2 = C21 (V2 -V1) +C23 (V2 -V3)

Q3 = C31 (V3 -V1) +C32 (V3 -V2)

Разность V1-V2<0, т.к. V1 – потенциал высокий

При коротком замыкании электродов 3 на 2 значение V2=V3 , тогда

С12=Q2 / V1 -V2 , С13=Q3 / V1 –V3

Каждая из емкостей может быть использована как информативный параметр.

 

1. Ввод экранных электродов, что снижает влияние э/м наводок, повышает чувствительность ПИП и увеличить емкость С0.

В преобразователях С12, С123 применение экранных электродов уменьшает паразитные потоки между высокопотенциальным и низкопотенциальным электродами. В преобразователе С13 защищает проводник 3 от магнитных полей.

С вводом экранных электродов исходные схемы ПИП примут следующий вид:

 

 

1 – высокопотенциальный электрод

2 – низкопотенциальный электрод

3 – контролируемый проводник

4 – экран

 

 

2. Ввод охранных электродов

Установка охранных электродов устраняет краевой эффект. Устранение краевого эффекта обеспечивается при условии равенства потенциалов электродов 1 и 5 в случае измерения С0 и С13 или электродов 2 и 5 при С12 и С123.

 

Обоснование расчетных моделей

Расчетная модель должная учитывать главные факторы, определяющие электростатическое поле преобразователя, геометрические характеристики преобразователя, распределение напряженности на электродах и контролируемом проводнике, а так же особенности измерительной цепи и влияние активных и индуктивных сопротивлений контролируемого проводника.

 

Основные требования к измерительной цепи

1) измеритель емкости должен быть высокой точности;

2) обеспечение заданных потенциалов контролируемого проводника и электродов;

3) min допустимые значения паразитных емкостей;

Этим условиям удовлетворяют трансформаторы с индуктивной связью между плечами.

Эквивалентная схема преобразователя приведена на рисунке 1.

Рисунок 1 – Эквивалентная схема ПИП

 

Отсутствие влияния контролируемого проводника можно обосновать следующими доводами:

1) индуктивное сопротивление контролируемого проводника очень мало по сравнению с активным;

2) емкостное сопротивление очень велико по сравнению с активным сопротивлением проводника.

В связи с этим плоскопараллельность поля в рабочей зоне ПИП не нарушается от внесения проводника.

В связи с этим схемы расчетных моделей примут следующий вид:

 

Расчет емкости преобразователя с плоским тонким контролируемым проводником

Определение емкости системы электродов может быть достигнуто в результате расчета создавшегося электростатического поля.

Однако расчет напряженности электростатического поля, созданного системой проводников не лежащих в одной плоскости, затруднен. Для решения этой задачи используем метод конформных преобразований в сочетании с методом определения напряженности поля. Эффективность сочетания этих двух методов – сравнительно сложная система проводников переходит в систему пластин, лежащих в одной плоскости.

Первый этап - конформное отображение плоскости комплексной переменной z, за которую принимается сечение в рабочей зоне ПИП, на новую плоскость :

 

Точки плоскости z: 0; ±jη; ±a; ±l;

Такое отображение осуществляется функцией следующего вида:

(1)

где , , .

- полные элептические интегралы Ι рода.

Для координат точек в плоскости z соответствующих координатам точек в плоскости z, проведя соответствия между двумя этими плоскостями можно получить простые формулы, представленные в таблице:

 

Координата ξ -l≤x≤l 0<y≤h
y=0 y=h x=0 x=±1
ξ
η

 

Для комплексной напряженности плоскопараллельного электростатического поля:

(2)

где - комплексная координата точки в которой определяется напряженность Е,

и - координаты краев К-го электрода,

- координаты особенной точки 2-ого рода(напряженность в ней равна 0),

m=n-2 – число особых точек, где n- число электродов,

А – постоянный коэффициент.

Неизвестные параметры А и можно определить через суммарные заряды электродов (теорема Гаусса) и через разность потенциалов между ними с помощью следующих уравнений:

(3)

где

- модуль напряженности в местах расположения электродов,

- суммарный заряд каждого электрода на единицу длины,

- разность потенциалов между k-м и k+1-м электродом,

- диэлектрическая проницаемость.

В таком случае выражение модуля напряженности электростатического поля примет вид:

При отсутствии особой точки числитель будет равен А. Следовательно емкость будет равна:

.

Расчет погрешностей емкостного ПИП для микромеров

 

Для емкостного ПИП к влияющим факторам относятся:

- перемещение контролируемого проводника,

- поворот плоского контролируемого проводника,

- изменение формы сечения проводника,

- емкостная связь между контролируемым проводником и экраном,

- погрешность измерителя емкости и изменение диэлектрической проницаемости среды.

В связи с этим результирующая погрешность складывается из отдельных составляющих, как систематических так и случайных, при этом взаимосвязь между ними определяется уравнением погрешности.

 

Составление уравнения погрешности

 

Под уравнением погрешности понимается уравнение, в котором устанавливается связь между результирующей погрешностью и ее составляющими:

(1)

Суммирование систематических погрешностей осуществляется алгебраически, при суммировании случайных составляющих следует учитывать их закон распределения и корреляцию между ними. Таким образом суммарная относительная погрешность будет определятся:

(2)

где - коэффициент парной корреляции между составляющими случайной погрешности,

- СКО составляющих γi, γj,

- коэффициент, зависящий от закона распределения плотности вероятности составляющих суммарной погрешности,

m - число составляющих.

Т.к. нахождение законов распределения случайных составляющих представляет всегда сложную и иногда невыполнимую задачу, то распределение всех случайных составляющих погрешности часто принимают равновероятными, в этом случае все коэффициенты в выражении (2) принимают одинаковыми, т.е. Ki=K.

При этом:

(3)

Обычно в микромерах корреляция между составляющими случайной погрешности либо отсутствует, либо весьма слабая, поэтому вторым членом в выражении (2) можно пренебречь, тогда:

(4)

Обычно при анализе выделяют доминирующую составляющую погрешности. В микромерах это относительная погрешность измерителя емкости, т.е. γΔС .

Выделив погрешность измерения емкости γΔС , получим:

(5)

Очевидно, что при выполнении условия:

2-м членом в выражении (5) можно пренебречь, тогда при КΣ =К из выражения (5) следует:

(6)

Предположим, что все составляющие случайной погрешности равнозначны и равны:

(7)

Тогда подставляя выражение (7) и выражение (6) в выражение (1) получим уравнение для составляющих результирующей погрешности:

Влияние перемещения проводника на погрешность ПИП

Если проводник перемещается на малую величину Δl, то емкость ПИП примет иное значение, т.е. изменится:

,

где

- относительное изменение емкости от начального значения.

- начальная емкость.

, где

, где

, где

Относительная погрешность от перемещения проводника при d=2r, в общем виде, определяется как:

Тогда на основании этой формулы для конденсаторной емкости относительная погрешность примет вид:

 

Для взаимочастичной емкости С12:

 

Для взаимочастичной емкости С13:

 

Для полной емкости:

 

Относительная погрешность для остальных влияющих величин

 

Рассмотрим погрешность ПИП основанного на конденсаторной емкости С0. Эквивалентная схема этого преобразователя с учетом влияющих величин имеет вид:

1 – высокопотенциальный электрод,

2 – низкопотенциальный электрод,

3 – контролируемый образец,

4 - экранные электроды,

5 – охранные электроды,

С0 – конденсаторная емкость (рабочая емкость),

C1 – контактная емкость между высокопотенциальным электродом и проводником.

 

Номинальная статическая характеристика данного ПИП:

(1)

(2)

где .


Формулы для определения предельных значений погрешности примут вид, представленный в таблице 1, где

 

Приближенность номинальной статической характеристики Неточность изготовления преобразователя Условия эксплуатации Суммарная погрешность измерителя емкости
   
   
       
           

 

1) γr/l – относительная погрешность, связанная с тем, что r/l ≠0;

2) γh/l – относительная погрешность, связанная с тем, что h/l ≠∞;

3) γs – относительная погрешность, от наличия зазора S≠0;

4) γL0 – относительная погрешность, связанная с конечной длиной охранного электрода;

5) γΔl – относительная погрешность от допуска на размер l;

6) γΔLp – относительная погрешность от допуска на длину рабочего электрода;

7) γΔS – относительная погрешность от допуска на величину зазора;

8) γΔl – относительная погрешность от смещения проводника на величину Δl;

9) γΔh – относительная погрешность от смещения проводника вверх или вниз на величину Δh;

10) γα – относительная погрешность от сжатия проволоки;

11) γΔε – относительная погрешность от изменения диэлектрической проницаемости среды;

12) γΔС – относительная погрешность от измерителя емкости;

13) γСl - относительная погрешность от наличия контактной емкости.

 

Составляющие погрешности, обусловленные приближенностью номинальной статической характеристики, являются систематическими, а остальные случайными. Эти составляющие определяются из выражения:

(3)

где γ –результирующая погрешность.

Тогда

(4)

где - погрешность измерителя емкости.

Для любой влияющей величины имеем:

(5)

Согласно выражения (4) вычисляется значение γΔС, с использованием которой определяются технологические допуски на изготовление преобразователя и допустимые отклонения влияющих величин.

Верхний и нижний пределы измерения находят путем подстановки заданных значений 2rн и 2rв диаметра проволоки в формулу (1) для номинальной статической характеристики преобразователя.

Измерив емкость преобразователя по формуле (2), получаем точное значение диаметра проволоки.

Из выражения (3) находят геометрические параметры преобразователя. При этом учитывается, что уравнение содержит 2 неизвестных параметра: зазор S и длину рабочего электрода Lр.

Одним из них следует задаться. Т.к. увеличение длины рабочего электрода приводит к уменьшению погрешности, то Lр следует увеличивать. По конструктивным соображениям целесообразно применять Lр ≤ 150 мм.