Замена переменной в двойном интеграле. Переход к полярным координатам.

Вычисление двойного интеграла (прямоугольная и произвольная области).

Вычисление двойного интеграла.

Если , где - непрерывные на функции, то двойной интеграл может быть вычислен двумя последовательными интегрированиями: . Аналогично, если , то .

Замена переменных в двойном интеграле. Пусть функции взаимно однозначно отображают открытое множество, содержащее область плоскости на открытое множество, содержащее область , и пусть является образом . Если и их частные производные непрерывны, а определитель , то . Выражение называется элементом площади в криволинейных координатах, функциональный определитель - якобианом. Двойной интеграл в полярных координатах. Введем на плоскости полярные координаты. Пусть - область, полученная взаимно однозначным отображением области плоскости , определяемым функциями . Тогда , а двойной интеграл в полярных координатах вычисляется по формуле: .Элемент площади в полярных координатах есть .