Двойной интеграл и его свойства.

Понятие двойного и тройного интегралов

Лекция 22.

Двойной интеграл и его свойства. Тройной интеграл и его вычисление.

Рассмотрим функцию , определённую в области S, которая ограничена замкнутой линией (рис.22.1). Область S сетью дуг разобьём на n элементарных областей . Предполагается, что область S и элементарные области имеют площади, которые обозначим теми же символами. В каждой элементарной области произвольно выберем точку М_k, значение функции в этой умножим на площадь , составим сумму всех таких произведений:

I_n = .

Эта сумма называется интегральной суммойдля функции по области S. Обозначим через наибольший из диаметров элементарных областей .

Двойным интеграломот функции по области S называется предел её интегральной суммы при :

= .

Функция называется подинтегральной функцией, а область S ─ областью интегрирования. Двойной интеграл от функции по области S обозначается также следующим образом:

.

Если предел существует, то функция называется интегрируемойв области S. Отметим, что непрерывные в области S функции всегда интегрируемы.

Геометрический смысл двойного интеграла: двойной интеграл от функции

≥ 0 по области S равен объёму цилиндроида с основанием S, который ограничен сверху поверхность (рис.22.2).