E) Погрешности функций измеренных величин

4 125.08 - 2 4

3 125.08 - 2 4

2 125.12 + 2 4

1 125.10 0 0

5 04 +3 9

4 05 +4 16

3 02 +1 1

2 03 + 2 4

1 110.01 110.01 0 0

= 30

m == 2.45 см.

Утроенное значение ср.кв.ош. принимается в качестве предельной ошибки D пр = 3m при вероятности р = 0.997. При вероятности р = 0.99 предельная ошибка D пр = 2.5 m, а при вероятности р = 0.95 D пр. = 2 m

 

в) Оценка точности измерений по формуле Ф. Бесселя ( по вероятнейшим уклонениям )

При выполнении измерений истинное значение измеряемой величины, как правило, неизвестно. В этом случае ср.кв.ош. отдельного измерения вычисляют по вероятнейшим уклонениям V измеренных величин от их среднего арифметического .

Формулу для оценки результатов измерений по вероятнейшим уклонениям вывел немецкий астроном Ф. Бессель, которая представляется в виде

m = =,( 10 )

где Vi - уклонение отдельных измерений l i от их среднего арифметического l ср ( Vi = l i - l ср );

n -число измерений.

Среднюю квадратическую ошибку М среднего результата измерения

в этом случае вычисляют по формуле

 

М = .( 11 )

Пример обработки результатов измерения длины линии приводится в таблице 2.

 

Таблица 2 Обработка результатов измерений по формуле Ф. Бесселя

 
 


№ № Измеренная

измерений величина, Vi, см V2 i,см

l i , м

 

5 125.12 + 2 4

 

n = 5 l ср = 125.10 м =0=16

m = 2 см , М = 0.9 см.

д) Оценка точности измерений по разностям двойных измерений

При выполнении топографо-геодезических работ одну и ту же величину часто измеряют дважды. Например, длины сторон теодолитного хода измеряют землемерной лентой прямо и обратно, горизонтальные углы - двумя полуприёмами и т.д. В этом случае оценку точности результатов измерений выполняют по разностям двойных измерений. При этом, если оценивают точность определения одной разностииз всей совокупности измерений, то вычисляют её среднюю квадратическую ошибку m d i из соотношения, близкого по своему смыслу к формуле К. Гаусса, т.к. истинные ошибки разностей равны нулю

 

m d i ==, ( 12 )

 

где d i- разности двойных измерений l 1 , l ;

n- число двойных разностей .

Каждая разность образована как d i = l 1 - l 2. Поэтому ср.кв.ош. одной разности d выражается формулой m 2d = m 2l + m22 .Так как измерения lравноточны, то m l = m 2 = m l .Следовательно, m2 d = 2 m2 l. Отсюдаm d = m l , а

 

m l = m d /. ( 13 )

 

Подставив в формулу ( 12 ) соотношение для m d ( 11 ) , получим выражение для ср.кв.ош.. m l отдельного измерения l i по разностям двойных измерений

m l i = . ( 14 )

Из разности двойных измерений l 1 и l 2 обычно берут среднее значение

l ср. =, ( 15 )

тогда согласно формуле ( 13 )

m l ср.= . ( 16 )

Подставляя в формулу ( 16 ) выражение ( 14 ) для m l, получим формулу для оценки точности среднего арифметического из всей совокупности измерений по разностям двойных измерений

 

m l ср. = . ( 17 )

 

Приведенные формулы ( 12 ), ( 14 ), ( 17 ) справедливы для случая, когда разности двойных измерений являются случайными ошибками ( свободны от систематических ошибок ), т.е. тогда, когда выражение = 0или близко к нулю. Если это выражение заметно отличается от нуля, то формулы, приведенные выше для оценки точности результатов измерений по разностям двойных измерений, применять нельзя.

В этом случае необходимо определить систематическую ошибку по формуле

= ( 18 )

и исключить её из каждой разности двойных измерений, вычислив величины по формуле

 

= d i - .( 19 )

 

Значения ошибок являются по существу уклонениями разностей d i от их арифметической средины , т.е. являются вероятнейшими ошибками. Следовательно, для оценки точности измерений по результатам двойных измерений может быть применена формула Бесселя.

В этом случае ср.кв.ош. определения одной разности m d i из всей совокупности двойных измерений определяют по формуле

m d i = . ( 20 )

Средние квадратические ошибки определения отдельного результата измерения m l i и среднего арифметического m l ср. из всей совокупности измерений вычисляют из соотношений

m l i =, ( 21 )

 

m l ср. =. ( 22 )

В практике топографо-геодезических работ искомые величины часто определяют как функции измеренных величин. Полученные при этом результаты содержат ошибки, зависящие от вида функции и ошибок аргумента. Рассмотрим основные ошибки функций измеренных величин.

 

1) Функция вида z = x y( 23 )

m 2z = m 2x + m2 y ;при m x = m y = m

m z = m .( 24 )

2) Функция вида z= kx( 25 )

m z = k m x .( 26 )

3). Функция вида

z = x y t .... .... u( 27 )

m2z = m2 x + m2 y + m2 t +... +... m2 u ;( 28 )

при m x = m y = mt = ...= m u = m

m z = m, ( 29 )

где n- число аргументов.

 

4) Функция вида

z = k 1x1 k2x2 k3x3 ...knxn ( 30 )

m2z = k21m 2x+ k22 m2x+ k23m 2x+ ....+....k2 m2x( 31 )

при к 1 = к 2 = к 3 =...=к n = k

m2z = k m .( 32 )

 

5). Функция общего вида

z = f ( x 1 , x 2, x 3 .... x n )( 33 )

m 2 z = m2 +m 2 +

+m2 + ... m2.( 34 )