Лекция 9. Равновесие трещины в упругой среде

 

Задачи равновесия трещины представляет значительное своеобразие в ряду других задач теории упругости. Впервые она была решена Гриффитсом в 1920 году. С точки зрения теории упругости трещина представляет собой полость в упругой среде, существующую при наличии внутренних напряжений в теле и «захлопывающуюся» при снятии нагрузки. Форма и размеры трещины существенно зависят от действующих напряжений. Поэтому математическая специфика задачи состоит в том, что граничные условия в ней задаются на поверхности, которая заранее не известна и должна сама определиться в результате решения задачи.

Рассмотрим вязкую трещину в изотропной среде, неограниченно длинную и однородную в одном направлении (вдоль оси z) и находящуюся в плоском поле напряжений ; другими словами, рассмотрим плоскую задачу теории упругости. Будем считать, что напряжения симметричны относительно центра сечения трещины. Тогда профиль сечения тоже будет симметричен (рис.9.1). Обозначим его длину 2L, а переменную ширину h(x); в силу симметричности трещины

h(-x)=h(x).

y

 

 
 


 

 

Рис.9.1. Модель вязкой трещины в полимере

Будем считать трещину тонкой: . Тогда граничные условия на её поверхности можно относить к соответствующему отрезку оси x. Другими словами, трещина рассматривается как линия разрыва (в плоскости x,y), на которой испытывает скачок нормальная составляющая смещения uy =± h/2.

Введём вместо h(x) другую неизвестную функцию ψ(x) , определив её как

ψ(-x)=-ψ(x). (9.1)

Чисто формальным образом функцию ψ(x) удобно истолковать через плотность прямолинейных (вдоль оси z), непрерывно расположенных по оси

x дислокаций, векторы Бюргерса которых параллельны оси y (полимер считается кристаллическим).Линию дислокации можно рассматривать как край поверхности разрыва, на котором смещение u испытывает скачок b.В представлении (9.1) скачок hнормального смещения в точке x рассматривается как сумма векторов Бюргерса всех дислокаций, проходящих левее этой точки (равенство же означает, что дислокации справа и слева от точки x =0имеют разный знак).

Такое представление позволяет сразу написать выражение для нормальных напряжений (σyy ) на оси x. Они складываются из напряжений σyy (x,0), приходящих от внешних нагрузок (обозначим их для краткости (x) и напряжений σyy (x), создаваемых деформацией от трещины. Рассмотрим последние как создаваемые распределёнными на отрезке (-L,L) дислокациями, получим:

(9.2)

(для точек на самом отрезке (-L,L) интеграл должен пониматься в смысле главного значения). Для изотропной среды

(9.3)

 

Напряжения же σxy , создаваемые такими дислокациями в изотропной среде, обращаются на оси x в нуль.

Граничное условие на свободной поверхности трещины, отнесённое (как указывалось выше) к соответствующему отрезку оси x, требует обращения в нуль нормальных напряжений σyy = σyy + p(x). Это условие, однако, должно быть уточнено в связи со следующим обстоятельством.

Сделаем предположение (которое подтвердиться получающимся результатом), что на краю трещины её берега смыкаются плавным образом, так что вблизи края обе поверхности сближаются до очень близких расстояний. В этих условиях необходимо учитывать силы молекулярного притяжения между поверхностями, действие которых распространяется, как известно, на расстоянии r0, большие по сравнению с межатомными. Эти силы будут играть существенную роль в узком участке вблизи края трещины, в котором h ≤ r0 (обозначим порядок величины длины для этого участка через d; его оценка будет дана ниже ).

Пусть G есть сила молекулярного сцепления, отнесённая к единице площади трещины; она зависит от расстояния h между поверхностями. С учётом этих сил граничное условие напишется в виде:

(9.4)

Естественно предположить, что форма трещины на участке вблизи её края определяется характером сил сцепления и не зависит от приложенных к телу внешних нагрузок. Тогда при определении формы основной части трещины по внешним силам p(x) величина G приобретает характер не зависящей от p(x) заданной функции G(x) (на участке d, где она только и существенна). Подставив в (9.4) σyy из (9.2), получим, таким образом, следующее интегральное уравнение для ψ(x):

(9.5)

Поскольку края трещины предполагаются не закреплёнными, напряжения на них должны оставаться конечными. При нашем выборе начала координат (в середине отрезка (-L,L)) эта формула имеет вид

. (9.6)

 

При этом должно выполняться условие, согласно которому в данном случае

(9.7)

 

(воспользовавшись симметрией задачи, мы перешли от интеграла по отрезку (-L,L) к интегралам от 0 до L). Поскольку G(x) отлично от нуля лишь в области L – x ~ d, то во втором интеграле можно положить, и тогда условие (9.7) принимает вид

(9.8)

 

где через M мы обозначили константу (зависящую от материала среды):

 

(9.9)

 

Эта константа может быть выражена через обычные макроскопические характеристики тела - его упругие модули и поверхностное натяжение α;

как мы увидим ниже, эта связь даётся формулой:

(9.10)

 

Равенство (9.8) представляет собой уравнение, определяющее длину трещины 2L по заданному распределению напряжений p(x). Так, для трещины, растягиваемой сосредоточенными силами f, приложенными к середине её сторон (p(x) = f σ(x)), находим:

(9.11)

 

Следует, однако, иметь в виду, что устойчивое равновесие трещины возможно не при всяком распределении p(x). Так для однородных растягивающих напряжений (p(x) = const ≡p0 ) получим:

(9.12)

Для геометрической модели трещины в виде двойного сектора, образованного пересечением двух окружностей радиуса-r, (метод «набухающих окружностей») величина напряжения будет , . Учитывая L<<r получаем для радиусов моделирующих окружностей ~, т.е. размер трещины растет пропорционально приложенному напряжению.