Гиперболический параболоид

Def. Гиперболическим параболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

(18.13)

Исследуем форму гиперболического параболоида.

1. Из уравнения (18.13) видно, что координатные плоскости и являются плоскостями симметрии гиперболического параболоида, а ось– его осью симметрии.

2. Исследуем форму эллиптическогопараболоида при по его сечениям координатными плоскостями и параллельными им плоскостями. Линией пересечения гиперболического параболоида с плоскостью будет парабола

(18.14

а с плоскостью - парабола

(18.15)

Плоскости пересекают гиперболический параболоид по параболам

или

(18.16)

Эти параболы представляют собой результат паарллельного переноса параболы (18.15), при котором ее вершина перемещается из точки в точки Т.е. гиперболический параболоид может быть образован путем параллельного переноса параболы (18.15), при котором ее вершина движется по параболе (18.14).

3. Линия пересечения гиперболического параболоида с плоскостью задается уравнением

или

(18.17)

Уравнение (18.17) задает пару пересекающихся прямых.

Линии персечения гиперболического параболоида с плоскостями представляют собой при гиперболу

с действительной полуосью и мнимой полуосью а при гиперболу

Рис. 18.5

с действительной полуосью и мнимой полуосью

Гиперболический параболоид изображен на рис. 18.5.