Двухполостной гиперболоид

Def. Двухполостным гиперболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

(18.6)

Исследуем форму двухполостного гиперболоида.

1. Из уравнения (18.6) следует, что оси коодинат являются осями симметрии двухполостного гиперболоида, координатные плоскости – плоскостями симметрии, а начало отсчета – центром симметрии. Ось поверхность пересекает в точках с координатами точек пересечения с осями и нет.

2. В сечении двухполостного гиперболоида плоскостью имеем мнимый эллипс:

В сечении данного гиперболоида плоскостями получаем линию, задаваемую уравнением

или

(18.7)

Уравнение (18.7) при задает эллипс с полуосями и который при вырождается в точку (точки пересечения с осью ). При песечение двухполостного гиперболоида (18.6) и плоскости пусто.

Это значит, что в пространстве между плоскостями не содержится точек рассматриваемой поверхности, эта поверхность состоит из двух полостей, расположенных так, как показано на рис. 18.3.

3. Линия пересечения исследуемой поверхности и плоскости задается уравнением

Это гипербола с действительной полуосью и мнимой полуосью Аналогично линией пересечения двухполостного гиперболоида и плоскости является гипербола

Рис. 18.3

с действительной полуосью и мнимой полуосью

Def. Числа называют полуосями двухполостного гиперболоида.