С помощью степенных рядов
Приближенное вычисление значений функций и определенных интегралов
Разложение функций в степенные ряды с успехом применяется для решения различных задач, например:
- вычисление сумм числовых рядов;
- вычисление значений аналитических функций;
- вычисление интегралов (определенных и несобственных);
- вычисление пределов функций;
- решение некоторых типов алгебраических уравнений;
- решение некоторых типов дифференциальных уравнений.
Вычисление искомой величины сводится к приближенному вычислению суммы S некоторого сходящегося числового ряда. Если требуется вычислить S с заданной точностью e>0, то тем или иным способом подбирают номер n так, чтобы выполнялось условие , где Sn ¾ это n-я частичная сумма, а Rn ¾ n-й остаток числового ряда. Тогда с точностью до e>0.
Для знакочередующегося ряда типа Лейбница имеем .
Для положительного ряда оценка погрешности при приближенном вычислении суммы значительно сложнее. Один из основных методов в таком случае ¾ это замена остатка ряда геометрическим рядом с большей суммой.
Задача 1.Вычислить , используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена. Взять три члена разложения. Оценить погрешность.
Решение.Используя известное разложение функции ln(1+x) в степенной ряд, получаем: .
Применяя теорему о почленном интегрировании на отрезке [0;0,1], лежащем в интервале сходимости (-1;1) полученного степенного ряда, и вычисляя определенные интегралы по формуле Ньютона-Лейбница, выражаем данный интеграл как сумму числового ряда:
.
Получаем , т.к. погрешность при приближенном вычислении суммы знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям теоремы Лейбница, не превышает абсолютной величины первого отброшенного члена .
Ответ..
Замечание.Известно, что .
Задача 2.Вычислить с точностью до 0,001.
Решение.Используя известное разложение в степенной ряд функции получаем: , где xÎ(-1;1) .
При получаем: .
Следовательно, остаток ряда
. Ясно, что Rn<10-3, если .
Итак, .
Ответ.»0,693 с точностью до 0,001. ().
Министерство образования и науки РФ
Негосударственная образовательная организация высшего профессионального образования
некоммерческое партнерство
«Тульский институт экономики и информатики»
Кафедра «Наименование кафедры»
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К ПРАКТИЧЕСКИМ (СЕМИНАРСКИМ) ЗАНЯТИЯМ
ПО дисциплине: «Математика»
Специальность: 230700 «Прикладная информатика»
Формы обучения (очная)
Тула 2011г.
Методические указания по СРС составлены доцентом, к.т.н.Липатовой И.Е. и обсуждены на заседании кафедры «Естестественнонаучных и гуманитарных дисциплин протокол № от " " 20 г.
Зав. кафедрой________ Е.А. Вишнякова
Методические указания по СРС пересмотрены и утверждены на заседании кафедры название кафедры факультета название факультета.
протокол №___ от "_______ "____ 20 г.
Зав. кафедрой________ Е.А. Вишнякова