Тема 2 Краткая историко-культурная и физико-географическая характеристика Беларуси


Пример

Пример

х+(х2-х)+(х32)+…+(хn-xn-1)+… E=[0,1]

u1(x)=x, un(x)=xn-xn-1 при n³2. Sn(x)=x+x2-x+x3-x2+…+xn-xn-1=xn; S(x)=lim Sn(x)= lim xn={0 при хÎ[0,1[ и 1 при x=1.

 

На каждом отрезке 0,a при a>1 сх-ть равномерная:("хÎ[0, a])[|rn(x)|=|Sn(x)-S(x)|=|xn-0|=xn£a]Þ 0£|rn(x)|£ an, а т.к. lim an=0, то и lim |rn(x)|=0. На всём отрезке Е=[0,1] сх-ть неравомерная. В самом деле :("хÎЕ) [|rn(x)|=|Sn(x)-S(x)|={xn, x Î [0,1[ и 0,x=1], поэтому |rn(x)|=1.

m ("хÎЕ) [|rn(x)|£1 Þ 1-верх. граница множества {|rn(x)|:xÎE}, 1-e - не м.б. верхней границей: |rn(x)|= хn=1, значит при хÎЕ достаточно близких к 1 будет ||rn(x)|-1|<eÞ|rn(x)|>1-eÞ1- наим. из всех верхних границ: 1=|rn(x)| l. Значит lim |rn(x)| =lim 1=1¹0

Теор Критерий Коши равномерной сходимости функ. ряда.

Функ. ряд (1) сх-ся на мн.Е равномерно Û ("e>0)($ne):("m>n>ne)("xÎE)[| uk(x)|<e]

1 Пусть ряд (1) сх-ся равномерно. Зададим e>0 и положим e1=e/2, для него по Опр 5.2. ($ ne): ("n> ne)("хÎЕ)[|Sn(x)-S(x)|<e1].Þ ("m>n>ne)("хÎЕ)[|Sn(x)-S(x)|<e1]. Поэтому |uk(x)|= |Sm(x)-Sn(x)|= |(Sm(x)-S(x))+(S(x)-Sn(x))|£ |Sm(x)-S(x)|+|S(x)-Sn(x)|< e1+e1=e.

Ü Пусть выполнен критерий Коши. При конкр. хÎЕ это означает выполнение кр. Коши для числового ряда, значит ч.р. un(x), хÎЕ сх-ся к некот. числу S(x). Это означает, что ф.р. (1) поточеч. сх-ся к некот. сумме S(x). Осталось пок-ть, что это сх-ть равномерная. Зададим e>0 и возьмём 0<e1<e, для него запишем кр. Коши: ( $n0): (" m>n>n0) ("хÎЕ)[ |uk(x)|= |Sm(x)-Sn(x)|<e1]. Зафиксируем здесь n0 и х. И рассмотрим (при этом всегда ост-ся m>n и потому |Sm(x)-Sn(x)|<e1 сохр. во всём процессе стремления m к ¥). В пределе получим ( $n0): (" m>n>n0) ("хÎЕ)[ |Sm(x)-Sn(x)|£e1], но |Sm(x)-Sn(x)|=| Sm(x) -

lim(n®+µ)Sn(x)|=(*Sn(x)=const*)= |S(x)-Sn(x)|£e1Þ |Sn(x)-S(x)|<e. Подчёркнутое означает, по Опр.5.2., что ряд (1) сх-ся равномерно на множестве Еg. Из кр. Коши получается след. дост. признак равномерной сх-ти.

19. Теор Признак Вейерштрасса о равномерной сх-ти.

Если существует полож, числовой, сх-ся ряд an (4), т.ч. ("n)("хÎЕ) [|uk(x)|£an] (мажорирующий ряд, мажоранта), то ряд (1) сх-ся на множестве Е абсолютно и равномерно.

1 |uk(x)|£an при всех хÎЕ следует, согл. признаку сравнения сх-ся |un(x)|Þ un(x) сх-ся абсолютно на множестве Е. Для ряда (4) выполнен крит. Коши: ("e>0)($ne):("m>n>ne)

[| |<e], но

 

Опр. Функ. ряд для которого сущ. мажоранта, наз-ся мажорирующим. По док-му ряд, мажорируемый на Е сх-ся абс-но и равномерно на мн-ве Е.

("n)("xÎ]-¥,+¥[)[||£1/n2]

- сх-ся и потому мажорантой на ]-¥,+¥[. След-но данный ряд сх-ся абс. и равномерно на ]-¥,+¥[.

 

20. Свойства равномерно сх-ся рядов.

Известно, что конеч. сумма непрер-х функций, есть непр-я функ-я. Такую сумму можно почленно инт-ть, конеч. сумму диф-ть.

Для суммы функ. ряда это не так, например члены ряда x+(x2-x)+…+(xn-xn-1)+… непрер-ны на Е=[0,1], а сумма ряда S(x)={0, xÎ[0,1[ и 1,x=1 разрывна в т. х=1.

Теор о непрерывности суммы ряда.

Если все члены un(x) функ. ряда u1(x)+u2(x)+…+un(x)+…(1) непрерывны на Е и ряд сх-ся равном. на Е, то S(x) непрер-на на Е.1Надо пок-ть, что("х0ÎЕ) [S(x)Îc{x0}Û("e>0)($d>0): ("xÎE,|x-x0|<d)[S(x)-S(x0)<e]]. Зададим e>0 и положим e1=e/3. Ввиду равном. сх-ти ряда для e1: ( $n0):(" n>n0) ("хÎЕ)[|Sn(x)-S(x)|<e1] (2). В частности |Sn(x0)-S(x)|<e1 (3). Зафиксируем один номер n>n0 и рассм. функ-ю Sn(x)= u1(x)+…+un(x). Как конеч. сумма непр-х ф-ий она непр-на на Е. В частности Sn(x)Îc{x0}. Значит ($d>0):("xÎE,|x-x0|<d)[Sn(x)-Sn(x0)<e1] (4). Теперь из 2,4,3 получим |S(x)-S(x0)|=| (S(x)-Sn(x))+ (Sn(x)-Sn(x0))+( Sn(x0)-S(x0))|£ |Sn(x)-S(x)|+|Sn(x)-Sn(x0)|+|Sn(x0)-S(x0)|£e1+e1+e1=eg

21. Теор об интегрировании ряда.

Если все члены un(x) функ. ряда (1) непрер-ы на [a,b] и ряд сх-ся на [a,b] равномерно, то его можно почленно инт-ть по любому отрезку [x1,x2]Ì[a,b]. S(x)dx=un(x)dx= un(x)dx (ряд полученный почленным инт-ем ряда (1) сх-ся и его сумма = интегралу от суммы ряда (1) или интеграл от суммы ряда = сумме ряда).

1 Т.к. все un(x)Î[a,b], то существует un(x)dx=аn (числа); ввиду равном. сх-ти ряда по Теор.6.1. сумма ряда S(x)Î[a,b]Þ сущ-ет S(x)dx=s (число) и ост. док-ть, что числ. ряд =un(x)dx сх-ся к s, т.е. lim ak=s. Зададим e>0 и положим e1=e/(х21)>0. Ввиду равном. сх-ти ряда (1) ($n0):(" n>n0) ("хÎ[a,b])[|Sn(x)-S(x)|<e1]Þ ("хÎ[x1,x2])[|Sn(x)-S(x)|<e1]. |ak-s|= |uk(x)dx - S(x)dx| = (*для конеч. суммы Sò=òS*) =| (uk(x) – S(x))dx| =|(Sn(x)-S(x))dx|£|Sn(x)-S(x)|dx< e1dx= e1(x2-x1)=e. Т.о. ("e>0)($n0):(" n>n0)[ |ak-s|<e]Þ lim ak=s g

22. Теор о дифференцируемости ряда.

Если все члены un(x) ф.р. (1) сходящиеся на [a,b] (необяз. равном.) непрер. диф-мы на [a,b] (un¢(x)Îc[a,b]), а ряд из производных: u1¢(x)+u2¢(x)+…+un¢(x)+…(5) равномерно сх-ся на [a,b], то ряд (1) можно почленно дифф-ть в любой т.хÎ[a,b]: S¢(x)=( un(x))¢= un¢(x) (производная суммы ряда равна сумме производных).o По условию ряд (5) равном. сх-ся на [a,b] к некот. сумме s(х): un¢(x)= s(х) и по Теор.6.2. (*благодаря непрерывности un¢(x) на [a,b]*) ряд (5) можно почленно инт-ть по отрезку [a,x] где х любая точка из [a,b]: s(t)dt= un¢(t)dt, здесь

un¢(t)dt = un(t)½= un(х)- un(а). Поэт. s(t)dt= (un(х)- un(а)). Поскольку un(х) сх-ся к S(x) по условию, в частности un(а) сх-ся к S(a), по Теор Олин-х опер-ях с рядами 1.10. (un(х)- un(а))= un(х) -un(а) = S(x)-S(a), а след-но s(t)dt= S(x)-S(a). По Теор 6.1. сумма s(х) ряда (5) с непрерывными членами равномерно сх-ся на [a,b] непрер-на на [a,b]. Поэт. можно применить Т. о диф-ии инт-ла с перем. верх. пределом: (s(t)dt)¢х=s(х), значит s(х)= S¢(x) - 0Þ S¢(x)= s(х)= n(х)g

Теор об ограниченном множителе.

Если все члены ряда (1) равном. сх-ся на Е умножить на ф-ию ограниченную на Е, то равном. сх-ть ряда (1) на Е сохр-ся.1Пусть("хÎЕ)[|f(x)}£M]. Рассм. ряд f(x)u1(x)+f(x)u2(x)+.. …+f(x)un(x)+…(6). Для равном. сх-ся ряда (1) вып-ся кр. Коши: ("e>0)($ne):("m>n>ne)("xÎE)[| uk(x)|<e].

Тогда("xÎE)[ |f(x)uk(x)|=|f(x)|×|uk(x)|£M×|uk(x)|<M×(e/M)=e]. Поэт. для ряда (6) ок-ся выполненым кр-ий Коши: ("e>0)($ne):("m>n>ne)("xÎE)[| f(x)uk(x)|<e] и потому он сх-ся равном. на Е.

23. Радиус сход-ти, интервал сход-ти, область сход-ти.

C0+C1(x-a)+C2(x-a)2+...+Cn(x-a)n+...==Cn(x-a)n (1), где Сn и а - действительные числа, наз-ся степенным рядом с центром х=а. Заменой x=х-а такой ряд приводится к виду (вместо x пишем х):

С01х+С2х2+...+Сnхn+...=Сnхn (2) поэтому можно ограничится изучением ряда (2). Ряд (2) всегда сходится к точке х=0: S(0)=C.

24. Т-ма Абеля

Если степенной ряд (2) сходится в точке х0¹0, то он абсолютно сходится при |х|<|х0|, т.е. на ]-|x0|,|x0|[; если он расходится в точке х0 ¹0, то расходится при |х|<|x0|, т.е. на ]-¥,-|x0|[ и ]|x0|,+¥[.

1 Если сходится , то lim и сходящаяся последовательность {} ограничена: ("n)[| |£M]Þ("n)[|Cn|£ M/|x0n|. Если |x|<|x0|, то ||=|Cn|×|x|n£ M/|x0n|×|x|n= M(|x|/|x0|)n= M×qn, где q=|x|/|x0|<1. Из сходимости геометрического ряда Mqn (q<1) по признаку сравнения следует сход-ть nxn|, т.е. абсолютная сход-ть ряда (2) при рассматриваемом |х|<|x0|. Eсли ряд (2) расходится в точке х0¹0, то при |х|>|x0| он не может сходится, т.к. по доказанному он бы сходился в точке х0Þ при |х|>|x0| ряд (2) расходится g

Т-ма о радиусе сходимости

Для каждого степенного ряда (2)сущ-ет неотрицательное число RÎтакое, что на ]-R,R[ ряд абсолютно сходится, а вне отрезка [-R,R] (т.е. на ]-¥,-R[ u ]R,+¥[) расходится.

1 Если (2) ходится в единственной точке х=0, то полагают R=0 (в точке х=0 ряд (2) сходится абсолютно:n0n|=|C0|). Пусть сущ-ют ¹0, в которых ряд сходится, назовем их точками сход-ти. Мн-во модулей точек сход-ти обозначим Х={||}, и пусть R=Sup X. Т.к. имеются точки ¹0, т.е. ||>0, то Sup X>0, т.е. R>0. Пусть |х|<R, тогда |х| меньшее чем Sup X не может быть верхней границей мн-ва Х и потому найдется ||ÎХ такой, что ||>|x|. Из сход-ти (2) в точке по т-ме Абеля следует абсолютная сход-ть ряда в точке х. Таким образом ряд (2) абсолютно сходится на ]-R,R[. В частности если R=+¥, то на ]-¥,+¥[. Пусть R<+¥, т.е. R-конечное число, тогда если |х|>R, то х не может быть точкой сход-ти, т.к. для всех точек сход-ти имеем ||£ Sup X=R Þ при |х|>R, т.е. при хÎ]-¥,-R[ u ]R,+¥[ ряд расходится. g

Число R наз-ся радиусом сход-ти степенного ряда (2), ]-R,R[ -интервалом сходимости.

Замечание1.

Для степенного ряда (1) интервалом сход-ти явл-ся ]a-R,a+R[.

1 Если для Сnxn xÎ]-R,R[ Û -R< x <R, т.е. -R<x-a<R Û a-R< x <a+R g

Замечание2.

На концах интервала х=±R ряд (2) может сходится (абсолютно или не абсолютно) и расходится, поэтому область сход-ти степенного ряда с точностью до граничных точек совпадает с интервалом сходимоси Þ чтобы найти область сход-ти степенного ряда достаточно найти интервал сход-ти, а сход-ть в граничных точках х=±R исследовать непосредственной подстановкой этих точек в ряд (2). Что же касается интервала сход-ти ряда (2), то он совпадает с интервалом сход-ти ряда из модулей|Cnxn|, т.к. внутри интервала сходимости ряд (2) сходится абсолютно, т.е. сходится ряд |Cnxn|, а вне интервала сход-ти ряд (2) расходится и тем более расходится ряд из модулей. Таким образом дело сводится к нахождению интервала сход-ти положительного ряда из модулей, а к этому положительному ряду можно применять признаки сход-ти положительных рядов.

Пример:

Решение:

1) если <1, то ряд сходится.

2) если >1, то ряд расходится.

3) если |х|=5 Þ х=5 или х=-5 Þ

Þ расходится; или - по признаку Лейбница сходится условно (не абсолютно).

25. Свойства степенных рядов.

Т-ма о равномерной сход-ти степенного ряда.

anxn = a0+a1x+a2x2+...+anxn+... (1). Степенной ряд (1) сходится равномерно в каждом замкнутом промежутке, расположенным внутри области сход-ти степеного ряда (1).

1 Считаем, что R>0. Если промежуток (-R*,R*) замкнутый и целиком лежащий в интервале ]-R,R[, то обязательно найдется -и , расположенные соответственно в ]-R,R*[ и ]R*,R[ Þ
. Eсли |an|- cходится, то|an|£MÞ . Обозначим =q < 1. Мы получим ряд из членов убывающей геометрической прогрессии. Воспользуемся признаком Вейерштрасса M· сходится ряд равномерно на [-R*,+R*] g

Пример: n!xn..Этот ряд расходится всюду, кроме х=0.

26Одна из формул определения радиуса сход-ти R степенного ряда (основанная на признаке Даламбера):

1- сходится. (сходится )Þ |х|<R; |x|>R - расходитсяg

Замечание: В общем случае этот предел может не существовать.

8.2. Т-ма

Внутри интервала сход-ти сумма ряда (1) - непрерывная функция.

1 Т.к. члены степенного ряда (1) непрерывные функции, то согласно т-ме о непрерывности суммы ряда, ряд (1) явл-ся непрерывной функцией g

8.3. Т-ма об интегрируемости степенного ряда:

Пусть [x0,x1]Ì(-R,R), тогда

1)(2)

2) Радиус сход-ти ряда (2), полученного после интегрирования равен радиусу сход-ти исходного ряда (1).

1 Пусть (2*). Найдем радиус сход-ти ряда (2*). g

8.4. Т-ма о дифференцируемости степенного ряда:

1) Внутри интервала сход-ти сумма степенного ряда S(x) - дифференцируемая функция, ряд можно почленно дифференцировать.

2)Радиус сход-ти степенного ряда, полученного после дифференцирования, равен радиусу исходного ряда.

 1) Согласно предыдущей т-ме ряд сходится равномерно, члены дифференцируемы и по т-ме о дифференцируемости ряда ряд (1) можно дифференцировать почленно.

2) Рассмотрим ряд вида (S(x))’= (anxn)¢=a1+2a2x+3a3x2+...+nanxn-1+..

Найдем радиус сход-ти этого ряда g

 

27. Формула Тейлора. Т-ма

Пусть функция f(x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)- го порядка включительно в некоторой окрестности точки х=а, тогда имеет место формула Тейлора:

. Rn(x) - остаточный член, который может быть представлен в виде: (2) - форма Лагранжа, где x-расположена между точками х и а. Другой вид:

1 Построим вспомогательную функцию(3)

тогда j(а)=f(x)Þj(x)=f(x)+f `(x)(x-x)+..=f(x) Þ j(a)=f(x) и j(x)=f(x). Тогда по т-ме Ролля найдется точка x в которой j’(x)=0. получим (2) g

Замечания: 1) сущ-ют и другие представления Rn;

2) x=a+q(x-a), |q|£1.

 

28. Ряды Тейлора и Макларена.

; f(x)=Sn(x)+Rn(x) (6); f(x)-Sn(x)=Rn(x) (6¢). Потребуем, чтобы функция f(x) имела бесконечное число производных f(n)(x) в точке x=а и её окрестности. Получим: lim (f(x)-Sn(x))=lim Rn(x)=0 (7) . Если lim Rn(x) сущ-ет и равен 0, то f(x)=lim Sn(x) (8) Þ (9) - ряд Тейлора. При а=0 получаем ряд Макларена:

.

Замечание Функция представлена в форме ряда Тейлора в том случае если Rn(x)®0.

Пример неразложимости функции в ряд Тейлора.

. Т.к. =0, то функция f(x) непрерывная Þ

Обозначим . По правилу Лопиталя

Аналогичным образом устанавливается, что функция f(x) имеет бесконечно большое число производных и все они непрерывны на всей оси, включая точку х=0 и в точке х=0 обращаются в нуль.

"n=0,1,2... Sn(x)=0. f(x)=Sn(x)+Rn(x)ºRn(x) Þ Rn(x)- не стремится к нулю, то ряда Тейлора для этой функции не сущ-ет.

10.1. Т-ма о представимости степенных рядов рядом Тейлора.

Если функция f(x) представима степенным рядом f(x)=an(x-a)n,

то этот степенной ряд явл-ся рядом Тейлора : f(x)= (x-a)n, т.е. an= (11). И такое разложение единственно и коэфициенты нах-ся по формуле (11).

1 f `(x)= nan(x-a)n-1, f ``(x)= (n-1)nan(x-a)n-2,..., f(i)(x)=(n-i+1)(n-i+2)...nan(x-a)n-i ,

Þ f(n)(a)=n!an Þ (11). Докажем единственность: предположим противное и пройдя всю цепочку рассуждений получим все коэфициенты, которые определяются по формуле (11). g

29. Т-ма (достаточный признак сход-ти степенного ряда к функции f или представимости в виде ряда Тейлора).

Пусть |f(n)(x)|£C=const "n=0,1,1... в некоторой замкнутой окрестности точки аÎХ, тогда функция f представима степенным рядом Тейлора.

1 Имеем |Rn(x)|£(x-a)n+1®0 при n®¥. Применяя признак Даламбера получаем, что ряд

(х-а)n+1 сходится g

30.Разложение основных элементарных функций в степенные ряды.

5.f(x)=cosx, f(0)=1,

(cosx)`=-sinx(0)=0,

(cosx)``(0)=(-cosx)(0)= -1

(cosx)```(0)=sinx(0)=0

(cosx)````(0)=cosx(0)=1,...

Т.к. cosx-четная функция, то сохраняются только четные степени. . Т.к. sin и cos по модулю £1, то

Остаточный член оценивается точно так же как cos. Указанные ряды можно использовать лишь в окрестности точки х=0, при удалении от х=0 апроксимация будет резко ухудшаться.

7.f(x)=ln(1+x)

ln(1+x)= Þ

ln(1+x)

8.f(x)=arctgx

9. Биномиальное разложение.

f(x)=(1+x)a, a-любое действительное число.

f(0)=1; f `(0)=a(1+x)a-1=a;

f ``(0)=a(a-1)(1+x)a-2=a(a-1);

f ```(0)=a(a-1)(a-2)(1+x)a-3=

=a(a-1)(a-2) ;...;

f(n)(0)=(a-n+1)(1+x)a-n=(a-n+1).

Определяем остаточный член:Þ в точке х=0 S(x)=1 и f(x)=1 Þ

ÞC=1.

Некоторые применения степенных рядов в приближенных вычислениях.

e£0.001.

Применения для вычисления интегралов.

Следующий пример:

интегралвероятностей=

Примененение степенных рядов для решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

y``=xy, y(0)=1, y`(0)=0

y(x)=anxn - предполагаемое решение; y`(x)= nanxn-1,y``(x)=(n-1)nanxn-2

а0=1 и а1=0 по условию. Приравниваем коэфициенты при равных степенях:

при x0 1*2a2=0

при х1 2*3а30=1

при х2 3*4а41=0

при х3 4*5а52=0 ....

при хn-1 n(n+1)an+1=an-2

при xn (n+1)(n+2)an+2=an-1

§11. Ряды Фурье.

Далее мы будем рассматривать глобальное разложение, то есть на конечном отрезке [a,b].

Определение. Понятие ортогонольных и нормированных систем ф-ий:

j(х), y(х) интегрируемые при хÎ[a,b], тогда (*) - cкалярное произведение.

для (*) вып-ся аксиомы ск-го произведения:

А.1 (j,y)=(y,j)

А.2 (lj,y)=(j,ly)=l(j,y), l=const

А.3 (j,y1+y2)=(j,y1)+(j,y2)

Определение: Функции j и y на [a,b] ортогональны если (j,y)=0, т.е. j(х)y(х)dx=0.

Определение. Понятие нормированности: ||j||=- норма (длина вектора).

Докажем, что норма обладает всеми св-вами длины:

||j||=[j2(x)dx]0.5

A.1 ||j||³0, ||j||=0 Û jº0

A.2 ||lj||=|lj||, "lÎR1

A.3 ||j1+j2||=||j1||+||j2||

Определения: Если для системы функций j1,j2,...,jn введено понятие нормы, то такая система наз-ся нормированной. Если норма каждого элемента пространства равна 1, то наз-ся нормированной на 1. Если система функций попарно ортогональна и нормированная на 1, то такая система наз-ся ортонормированной: ОН - ортонормированная система, если

; ОН Þ

Пример: при xÎ[-p,p]

{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,...,

cosnx,sinnx}.

. Аналогично sin(nx)sin(mx)dx=0;sin(nx)cos(mx)dx=0. Найдем норму: ||cosnx||=

. Аналогично ||sin(nx)||=.Получаем ОН систему:

Ряд Фурье. Коэфициенты Фурье по ОН системе.

{j1(x),j2(x),...,jn(x)} - ОН система, т.е. . f(x)=fnjn(x) - ряд Фурье, где fn - коэфициенты. Умножим обе части этого уравнения на jm(x) и проинтегрируем:

f(x)jm(x)dx==jm(x) fnjn(x)dx=fnjm(x)jn(x)dx=0 - когда m¹n. Когда m=n:

=fn(jn,jn)=fn=f(x)jn(x)dx Þ f(x) ~ (f,jn)jn(x)

Ряд Фурье для тригонометрических функций.

, f(x) ~(ancos(nx)+bnsin(nx)) (4)

где an=f(x)cos(nx)dx, bn=f(x)sin(nx)dx, n=0,1,2,...

Определение: Функция наз-ся кусочно-непрерывной на данном отрезке, если этот отрезок можно разбить на конечное число интегралов, в каждом из которых функция непрерывна.

Т-ма Дирихле: Пусть f(x)

1)определена для всех хÎ[-p,p]

2)кусочно-непрерывная на [-p,p]

3)кусочно-монотонная на [-p,p]

4)ограничена на [-p,p], тогда она разложима в тригонометрический ряд Фурье (4). Если точка хÎ[-p,p] и в этой точки f(x) непрерывна, то сумма ряда

S(x)=(ancos(nx)+bnsin(nx))=f(x). Если точка х - точка разрыва, скачок, то S(x)=1/2 [f(x-0)+f(x+0)]

S(-p)=S(p)=1/2 [f(p+0)+f(p-0)]

Замечания: 1)поведение функции f за пределами [-p,p] может в корне отличаться от значения S.

2)если мы хотим разложить f на всей действительной оси, то соглас- но (4) мы должны продол- жить пе- риодическим образом с периодом 2p.

Пример: f(x)=x, xÎ[-p,p]

a0=xdx=0

Разложение функций в тригонометрические ряды на произвольном промежутке.

Часто возникает задача разложения функций в тригонометрический ряд на произвольном промежутке

yÎ[a,b] (|a|,|b| < ¥,a < b)

x=ay+b; [-p,p] переходит в [a,b].

,m, f(ay+b)=f*(y); dx=ady, an=f*(y)cosn(ay+b)dy

bn=f*(y)sinn(ay+b)dy, f*(y)=+(ancosn(ay+b)+bnsinn(ay+b))

Разложив cos и sin по формулам:

f*(y)=+(a*ncosnay+b*nsinnay), где нужно вычислить a*n , b*n и a*0 .

Примеры: 1) a=0, b=L >0

x=

2) a= - L, b= L

x=

Разложение четных функций в тригонометрический ряд.

f(x)=f(-x) , xÎR1

an=f(x)cosnxdx=f(x)cosnxdx

bn=0

f(x)= +ancosnx - разложение по косинусам.

Разложение нечетных функций в тригонометрический ряд.

f(x)= - f(-x); a0=0, an=0

f(x)= bnsinnx

bn=f(x)sinnxdx

- разложение по синусам.

Примеры: 1) f(x)=x

a0=1dx=2; an=1cosnxdx=0

f(x)= =1

2) Функция

bn=1sinnxdx=

Разложение функций в ряд по синусам в несимметричном промежутке (0, L).

f(x) , xÎ[0, L]. Доопределим функцию на промежутке [-L,0] (нечетным образом)

1. В ряд по синусам.

f(x)= bnsin, где

bn=f(x)sindx

2. В ряд по косинусам (четным образом).

f(x)= +ancos, где

an=f(x)cosdx

Пример: по синусам

f(x)=x, xÎ[0,1], L=1