Тема 2 Краткая историко-культурная и физико-географическая характеристика Беларуси

Пример

х+(х²-х)+(х³-х²)+…+(хⁿ-x^n-1)+… E=[0,1]

u₁(x)=x, u_n(x)=xⁿ-x^n-1 при n³2. Sn(x)=x+x²-x+x³-x²+…+xⁿ-x^n-1=xⁿ; S(x)=lim Sn(x)= lim xⁿ={0 при хÎ[0,1[ и 1 при x=1.

На каждом отрезке 0,a при a>1 сх-ть равномерная:("хÎ[0, a])[|r_n(x)|=|Sn(x)-S(x)|=|xⁿ-0|=xⁿ£a]Þ 0£|r_n(x)|£ aⁿ, а т.к. lim aⁿ=0, то и lim |r_n(x)|=0. На всём отрезке Е=[0,1] сх-ть неравомерная. В самом деле :("хÎЕ) [|r_n(x)|=|Sn(x)-S(x)|={xⁿ, x Î [0,1[ и 0,x=1], поэтому |r_n(x)|=1.

m ("хÎЕ) [|r_n(x)|£1 Þ 1-верх. граница множества {|r_n(x)|:xÎE}, 1-e - не м.б. верхней границей: |r_n(x)|= хⁿ=1, значит при хÎЕ достаточно близких к 1 будет ||r_n(x)|-1|<eÞ|r_n(x)|>1-eÞ1- наим. из всех верхних границ: 1=|r_n(x)| l. Значит lim |r_n(x)| =lim 1=1¹0

Теор Критерий Коши равномерной сходимости функ. ряда.

Функ. ряд (1) сх-ся на мн.Е равномерно Û ("e>0)($n_e):("m>n>n_e)("xÎE)[| u_k(x)|<e]

Ü Пусть выполнен критерий Коши. При конкр. хÎЕ это означает выполнение кр. Коши для числового ряда, значит ч.р. u_n(x), хÎЕ сх-ся к некот. числу S(x). Это означает, что ф.р. (1) поточеч. сх-ся к некот. сумме S(x). Осталось пок-ть, что это сх-ть равномерная. Зададим e>0 и возьмём 0<e₁<e, для него запишем кр. Коши: ( $n₀): (" m>n>n₀) ("хÎЕ)[ |u_k(x)|= |S_m(x)-S_n(x)|<e₁]. Зафиксируем здесь n₀ и х. И рассмотрим (при этом всегда ост-ся m>n и потому |S_m(x)-S_n(x)|<e₁ сохр. во всём процессе стремления m к ¥). В пределе получим ( $n₀): (" m>n>n₀) ("хÎЕ)[ |S_m(x)-S_n(x)|£e₁]_,но |S_m(x)-S_n(x)|=|S_m(x) -

19. Теор Признак Вейерштрасса о равномерной сх-ти.

Если существует полож, числовой, сх-ся ряд a_n(4), т.ч. ("n)("хÎЕ) [|u_k(x)|£a_n] (мажорирующий ряд, мажоранта), то ряд (1) сх-ся на множестве Е абсолютно и равномерно.

1 |u_k(x)|£a_n при всех хÎЕ следует, согл. признаку сравнения сх-ся |u_n(x)|Þ u_n(x) сх-ся абсолютно на множестве Е. Для ряда (4) выполнен крит. Коши: ("e>0)($n_e):("m>n>n_e)

[| |<e], но

Опр. Функ. ряд для которого сущ. мажоранта, наз-ся мажорирующим. По док-му ряд, мажорируемый на Е сх-ся абс-но и равномерно на мн-ве Е.

("n)("xÎ]-¥,+¥[)[||£1/n²]

- сх-ся и потому мажорантой на ]-¥,+¥[. След-но данный ряд сх-ся абс. и равномерно на ]-¥,+¥[.

20. Свойства равномерно сх-ся рядов.

Известно, что конеч. сумма непрер-х функций, есть непр-я функ-я. Такую сумму можно почленно инт-ть, конеч. сумму диф-ть.

Для суммы функ. ряда это не так, например члены ряда x+(x²-x)+…+(xⁿ-x^n-1)+… непрер-ны на Е=[0,1], а сумма ряда S(x)={0, xÎ[0,1[ и 1,x=1 разрывна в т. х=1.

Теор о непрерывности суммы ряда.

Если все члены u_n(x) функ. ряда u₁(x)+u₂(x)+…+u_n(x)+…(1) непрерывны на Е и ряд сх-ся равном. на Е, то S(x) непрер-на на Е.1Надо пок-ть, что("х₀ÎЕ) [S(x)Îc{x₀}Û("e>0)($d>0): ("xÎE,|x-x₀|<d)[S(x)-S(x₀)<e]]. Зададим e>0 и положим e₁=e/3. Ввиду равном. сх-ти ряда для e₁: ( $n₀):(" n>n₀) ("хÎЕ)[|S_n(x)-S(x)|<e₁] (2). В частности |S_n(x₀)-S(x)|<e₁ (3). Зафиксируем один номер n>n₀ и рассм. функ-ю Sn(x)= u₁(x)+…+u_n(x). Как конеч. сумма непр-х ф-ий она непр-на на Е. В частности Sn(x)Îc{x₀}. Значит ($d>0):("xÎE,|x-x₀|<d)[S_n(x)-S_n(x₀)<e₁] (4). Теперь из 2,4,3 получим |S(x)-S(x₀)|=| (S(x)-S_n(x))+ (S_n(x)-S_n(x₀))+( S_n(x₀)-S(x₀))|£ |S_n(x)-S(x)|+|S_n(x)-S_n(x₀)|+|S_n(x₀)-S(x₀)|£e₁+e₁+e₁=eg

21. Теор об интегрировании ряда.

Если все члены u_n(x) функ. ряда (1) непрер-ы на [a,b] и ряд сх-ся на [a,b] равномерно, то его можно почленно инт-ть по любому отрезку [x₁,x₂]Ì[a,b]. S(x)dx=u_n(x)dx= u_n(x)dx (ряд полученный почленным инт-ем ряда (1) сх-ся и его сумма = интегралу от суммы ряда (1) или интеграл от суммы ряда = сумме ряда).

22. Теор о дифференцируемости ряда.

Если все члены u_n(x) ф.р. (1) сходящиеся на [a,b] (необяз. равном.) непрер. диф-мы на [a,b] (u_n¢(x)Îc[a,b]), а ряд из производных: u₁¢(x)+u₂¢(x)+…+u_n¢(x)+…(5) равномерно сх-ся на [a,b], то ряд (1) можно почленно дифф-ть в любой т.хÎ[a,b]: S¢(x)=(u_n(x))¢=u_n¢(x) (производная суммы ряда равна сумме производных).o По условию ряд (5) равном. сх-ся на [a,b] к некот. сумме s(х): u_n¢(x)= s(х) и по Теор.6.2. (*благодаря непрерывности u_n¢(x) на [a,b]*) ряд (5) можно почленно инт-ть по отрезку [a,x] где х любая точка из [a,b]: s(t)dt= u_n¢(t)dt, здесь

u_n¢(t)dt = u_n(t)½= u_n(х)- u_n(а). Поэт.s(t)dt= (u_n(х)- u_n(а)). Поскольку u_n(х) сх-ся к S(x) по условию, в частности u_n(а) сх-ся к S(a), по Теор Олин-х опер-ях с рядами 1.10. (u_n(х)- u_n(а))= u_n(х) -u_n(а) = S(x)-S(a), а след-но s(t)dt= S(x)-S(a). По Теор 6.1. сумма s(х) ряда (5) с непрерывными членами равномерно сх-ся на [a,b] непрер-на на [a,b]. Поэт. можно применить Т. о диф-ии инт-ла с перем. верх. пределом: (s(t)dt)¢_х=s(х), значит s(х)= S¢(x) - 0Þ S¢(x)= s(х)= u¢_n(х)g

Теор об ограниченном множителе.

Если все члены ряда (1) равном. сх-ся на Е умножить на ф-ию ограниченную на Е, то равном. сх-ть ряда (1) на Е сохр-ся.1Пусть("хÎЕ)[|f(x)}£M]. Рассм. ряд f(x)u₁(x)+f(x)u₂(x)+.. …+f(x)u_n(x)+…(6). Для равном. сх-ся ряда (1) вып-ся кр. Коши: ("e>0)($n_e):("m>n>n_e)("xÎE)[| u_k(x)|<e].

Тогда("xÎE)[ |f(x)u_k(x)|=|f(x)|×|u_k(x)|£M×|u_k(x)|<M×(e/M)=e]. Поэт. для ряда (6) ок-ся выполненым кр-ий Коши: ("e>0)($n_e):("m>n>n_e)("xÎE)[| f(x)u_k(x)|<e] и потому он сх-ся равном. на Е.

23. Радиус сход-ти, интервал сход-ти, область сход-ти.

C₀+C₁(x-a)+C₂(x-a)²+...+C_n(x-a)ⁿ+...==C_n(x-a)ⁿ (1), где С_n и а - действительные числа, наз-ся степенным рядом с центром х=а. Заменой x=х-а такой ряд приводится к виду (вместо x пишем х):

С₀+С₁х+С₂х²+...+С_nхⁿ+...=С_nхⁿ (2) поэтому можно ограничится изучением ряда (2). Ряд (2) всегда сходится к точке х=0: S(0)=C.

24. Т-ма Абеля

Если степенной ряд (2) сходится в точке х₀¹0, то он абсолютно сходится при |х|<|х₀|, т.е. на ]-|x₀|,|x₀|[; если он расходится в точке х₀¹0, то расходится при |х|<|x₀|, т.е. на ]-¥,-|x₀|[ и ]|x₀|,+¥[.

1 Если сходится , то lim и сходящаяся последовательность {} ограничена: ("n)[| |£M]Þ("n)[|C_n|£ M/|x₀ⁿ|. Если |x|<|x₀|, то ||=|C_n|×|x|ⁿ£ M/|x₀ⁿ|×|x|ⁿ= M(|x|/|x₀|)ⁿ= M×qⁿ, где q=|x|/|x₀|<1. Из сходимости геометрического ряда Mqⁿ (q<1) по признаку сравнения следует сход-ть |С_nxⁿ|, т.е. абсолютная сход-ть ряда (2) при рассматриваемом |х|<|x₀|. Eсли ряд (2) расходится в точке х₀¹0, то при |х|>|x₀| он не может сходится, т.к. по доказанному он бы сходился в точке х₀Þ при |х|>|x₀| ряд (2) расходится g

Т-ма о радиусе сходимости

Для каждого степенного ряда (2)сущ-ет неотрицательное число RÎтакое, что на ]-R,R[ ряд абсолютно сходится, а вне отрезка [-R,R] (т.е. на ]-¥,-R[ u ]R,+¥[) расходится.

1 Если (2) ходится в единственной точке х=0, то полагают R=0 (в точке х=0 ряд (2) сходится абсолютно:|С_n0ⁿ|=|C₀|). Пусть сущ-ют ¹0, в которых ряд сходится, назовем их точками сход-ти. Мн-во модулей точек сход-ти обозначим Х={||}, и пусть R=Sup X. Т.к. имеются точки ¹0, т.е. ||>0, то Sup X>0, т.е. R>0. Пусть |х|<R, тогда |х| меньшее чем Sup X не может быть верхней границей мн-ва Х и потому найдется ||ÎХ такой, что ||>|x|. Из сход-ти (2) в точке по т-ме Абеля следует абсолютная сход-ть ряда в точке х. Таким образом ряд (2) абсолютно сходится на ]-R,R[. В частности если R=+¥, то на ]-¥,+¥[. Пусть R<+¥, т.е. R-конечное число, тогда если |х|>R, то х не может быть точкой сход-ти, т.к. для всех точек сход-ти имеем ||£ Sup X=R Þ при |х|>R, т.е. при хÎ]-¥,-R[ u ]R,+¥[ ряд расходится. g

Число R наз-ся радиусом сход-ти степенного ряда (2), ]-R,R[ -интервалом сходимости.

Замечание1.

Для степенного ряда (1) интервалом сход-ти явл-ся ]a-R,a+R[.

1 Если для С_nxⁿ xÎ]-R,R[ Û -R< x <R, т.е. -R<x-a<R Û a-R< x <a+R g

Замечание2.

На концах интервала х=±R ряд (2) может сходится (абсолютно или не абсолютно) и расходится, поэтому область сход-ти степенного ряда с точностью до граничных точек совпадает с интервалом сходимоси Þ чтобы найти область сход-ти степенного ряда достаточно найти интервал сход-ти, а сход-ть в граничных точках х=±R исследовать непосредственной подстановкой этих точек в ряд (2). Что же касается интервала сход-ти ряда (2), то он совпадает с интервалом сход-ти ряда из модулей|C_nxⁿ|, т.к. внутри интервала сходимости ряд (2) сходится абсолютно, т.е. сходится ряд |C_nxⁿ|, а вне интервала сход-ти ряд (2) расходится и тем более расходится ряд из модулей. Таким образом дело сводится к нахождению интервала сход-ти положительного ряда из модулей, а к этому положительному ряду можно применять признаки сход-ти положительных рядов.

Пример:

Решение:

1) если <1, то ряд сходится.

2) если >1, то ряд расходится.

3) если |х|=5 Þ х=5 или х=-5 Þ

Þ расходится; или - по признаку Лейбница сходится условно (не абсолютно).

25. Свойства степенных рядов.

Т-ма о равномерной сход-ти степенного ряда.

a_nxⁿ = a₀+a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ+... (1). Степенной ряд (1) сходится равномерно в каждом замкнутом промежутке, расположенным внутри области сход-ти степеного ряда (1).

1 Считаем, что R>0. Если промежуток (-R^*,R^*) замкнутый и целиком лежащий в интервале ]-R,R[, то обязательно найдется -и , расположенные соответственно в ]-R,R^*[ и ]R^*,R[ Þ
. Eсли |a_n|- cходится, то|a_n|£MÞ . Обозначим =q < 1. Мы получим ряд из членов убывающей геометрической прогрессии. Воспользуемся признаком Вейерштрасса M·сходится ряд равномерно на [-R^*,+R^*] g

Пример: n!xⁿ..Этот ряд расходится всюду, кроме х=0.

26Одна из формул определения радиуса сход-ти R степенного ряда (основанная на признаке Даламбера):

1- сходится. (сходится )Þ |х|<R; |x|>R - расходитсяg

Замечание: В общем случае этот предел может не существовать.

8.2. Т-ма

Внутри интервала сход-ти сумма ряда (1) - непрерывная функция.

1 Т.к. члены степенного ряда (1) непрерывные функции, то согласно т-ме о непрерывности суммы ряда, ряд (1) явл-ся непрерывной функцией g

8.3. Т-ма об интегрируемости степенного ряда:

Пусть [x₀,x₁]Ì(-R,R), тогда

1)(2)

2) Радиус сход-ти ряда (2), полученного после интегрирования равен радиусу сход-ти исходного ряда (1).

1 Пусть (2*). Найдем радиус сход-ти ряда (2*). g

8.4. Т-ма о дифференцируемости степенного ряда:

1) Внутри интервала сход-ти сумма степенного ряда S(x) - дифференцируемая функция, ряд можно почленно дифференцировать.

2)Радиус сход-ти степенного ряда, полученного после дифференцирования, равен радиусу исходного ряда.

1) Согласно предыдущей т-ме ряд сходится равномерно, члены дифференцируемы и по т-ме о дифференцируемости ряда ряд (1) можно дифференцировать почленно.

2) Рассмотрим ряд вида (S(x))’= (a_nxⁿ)¢=a₁+2a₂x+3a₃x²+...+na_nx^n-1+..

Найдем радиус сход-ти этого ряда g

27. Формула Тейлора. Т-ма

Пусть функция f(x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)- го порядка включительно в некоторой окрестности точки х=а, тогда имеет место формула Тейлора:

. R_n(x) - остаточный член, который может быть представлен в виде: (2) - форма Лагранжа, где x-расположена между точками х и а. Другой вид:

1 Построим вспомогательную функцию(3)

тогда j(а)=f(x)Þj(x)=f(x)+f `(x)(x-x)+..=f(x) Þ j(a)=f(x) и j(x)=f(x). Тогда по т-ме Ролля найдется точка x в которой j’(x)=0. получим (2) g

Замечания: 1) сущ-ют и другие представления R_n;

2) x=a+q(x-a), |q|£1.

28. Ряды Тейлора и Макларена.

; f(x)=S_n(x)+R_n(x) (6); f(x)-S_n(x)=R_n(x) (6¢). Потребуем, чтобы функция f(x) имела бесконечное число производных f⁽ⁿ⁾(x) в точке x=а и её окрестности. Получим: lim (f(x)-S_n(x))=lim R_n(x)=0 (7) . Если lim R_n(x) сущ-ет и равен 0, то f(x)=lim S_n(x) (8) Þ (9) - ряд Тейлора. При а=0 получаем ряд Макларена:

Замечание Функция представлена в форме ряда Тейлора в том случае если R_n(x)®0.

Пример неразложимости функции в ряд Тейлора.

. Т.к. =0, то функция f(x) непрерывная Þ

Обозначим . По правилу Лопиталя

Аналогичным образом устанавливается, что функция f(x) имеет бесконечно большое число производных и все они непрерывны на всей оси, включая точку х=0 и в точке х=0 обращаются в нуль.

"n=0,1,2... S_n(x)=0. f(x)=S_n(x)+R_n(x)ºR_n(x) Þ R_n(x)- не стремится к нулю, то ряда Тейлора для этой функции не сущ-ет.

10.1. Т-ма о представимости степенных рядов рядом Тейлора.

Если функция f(x) представима степенным рядом f(x)=a_n(x-a)ⁿ,

то этот степенной ряд явл-ся рядом Тейлора : f(x)= (x-a)ⁿ, т.е. a_n= (11). И такое разложение единственно и коэфициенты нах-ся по формуле (11).

1 f `(x)= na_n(x-a)^n-1, f ``(x)= (n-1)na_n(x-a)^n-2,..., f⁽ⁱ⁾(x)=(n-i+1)(n-i+2)...na_n(x-a)^n-i ,

Þ f⁽ⁿ⁾(a)=n!a_nÞ (11). Докажем единственность: предположим противное и пройдя всю цепочку рассуждений получим все коэфициенты, которые определяются по формуле (11). g

29. Т-ма (достаточный признак сход-ти степенного ряда к функции f или представимости в виде ряда Тейлора).

Пусть |f⁽ⁿ⁾(x)|£C=const "n=0,1,1... в некоторой замкнутой окрестности точки аÎХ, тогда функция f представима степенным рядом Тейлора.

1 Имеем |R_n(x)|£(x-a)ⁿ⁺¹®0 при n®¥. Применяя признак Даламбера получаем, что ряд

(х-а)ⁿ⁺¹ сходится g

30.Разложение основных элементарных функций в степенные ряды.

5.f(x)=cosx, f(0)=1,

(cosx)`=-sinx(0)=0,

(cosx)``(0)=(-cosx)(0)= -1

(cosx)```(0)=sinx(0)=0

(cosx)````(0)=cosx(0)=1,...

Т.к. cosx-четная функция, то сохраняются только четные степени. . Т.к. sin и cos по модулю £1, то

Остаточный член оценивается точно так же как cos. Указанные ряды можно использовать лишь в окрестности точки х=0, при удалении от х=0 апроксимация будет резко ухудшаться.

7.f(x)=ln(1+x)

ln(1+x)= Þ

ln(1+x)

8.f(x)=arctgx

9. Биномиальное разложение.

f(x)=(1+x)^a, a-любое действительное число.

f(0)=1; f `(0)=a(1+x)^a^-1=a;

f ``(0)=a(a-1)(1+x)^a^-2=a(a-1);

f ```(0)=a(a-1)(a-2)(1+x)^a^-3=

=a(a-1)(a-2) ;...;

f⁽ⁿ⁾(0)=(a-n+1)(1+x)^a^-n=(a-n+1).

Определяем остаточный член:Þ в точке х=0 S(x)=1 и f(x)=1 Þ

ÞC=1.

Некоторые применения степенных рядов в приближенных вычислениях.

e£0.001.

Применения для вычисления интегралов.

Следующий пример:

интегралвероятностей=

Примененение степенных рядов для решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

y``=xy, y(0)=1, y`(0)=0

y(x)=a_nxⁿ - предполагаемое решение; y`(x)= na_nx^n-1,y``(x)=(n-1)na_nx^n-2

а₀=1 и а₁=0 по условию. Приравниваем коэфициенты при равных степенях:

при x⁰ 1*2a₂=0

при х¹2*3а₃=а₀=1

при х² 3*4а₄=а₁=0

при х³ 4*5а₅=а₂=0 ....

при х^n-1 n(n+1)a_n+1=a_n-2

при xⁿ (n+1)(n+2)a_n+2=a_n-1

§11. Ряды Фурье.

Далее мы будем рассматривать глобальное разложение, то есть на конечном отрезке [a,b].

Определение. Понятие ортогонольных и нормированных систем ф-ий:

j(х), y(х) интегрируемые при хÎ[a,b], тогда (*) - cкалярное произведение.

для (*) вып-ся аксиомы ск-го произведения:

А.1 (j,y)=(y,j)

А.2 (lj,y)=(j,ly)=l(j,y), l=const

А.3 (j,y₁+y₂)=(j,y₁)+(j,y₂)

Определение: Функции j и y на [a,b] ортогональны если (j,y)=0, т.е. j(х)y(х)dx=0.

Определение. Понятие нормированности: ||j||=- норма (длина вектора).

Докажем, что норма обладает всеми св-вами длины:

||j||=[j²(x)dx]^0.5

A.1 ||j||³0, ||j||=0 Û jº0

A.2 ||lj||=|lj||, "lÎR¹

A.3 ||j₁+j₂||=||j₁||+||j₂||

Определения: Если для системы функций j₁,j₂,...,j_n введено понятие нормы, то такая система наз-ся нормированной. Если норма каждого элемента пространства равна 1, то наз-ся нормированной на 1. Если система функций попарно ортогональна и нормированная на 1, то такая система наз-ся ортонормированной: ОН - ортонормированная система, если

; ОН Þ

Пример: при xÎ[-p,p]

{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,...,

cosnx,sinnx}.

. Аналогично sin(nx)sin(mx)dx=0;sin(nx)cos(mx)dx=0. Найдем норму: ||cosnx||=

. Аналогично ||sin(nx)||=.Получаем ОН систему:

Ряд Фурье. Коэфициенты Фурье по ОН системе.

{j₁(x),j₂(x),...,j_n(x)} - ОН система, т.е. . f(x)=f_nj_n(x) - ряд Фурье, где f_n - коэфициенты. Умножим обе части этого уравнения на j_m(x) и проинтегрируем:

f(x)j_m(x)dx==j_m(x) f_nj_n(x)dx=f_nj_m(x)j_n(x)dx=0 - когда m¹n. Когда m=n:

=f_n(j_n,j_n)=f_n=f(x)j_n(x)dx Þ f(x) ~ (f,j_n)j_n(x)

Ряд Фурье для тригонометрических функций.

, f(x) ~(a_ncos(nx)+b_nsin(nx)) (4)

где a_n=f(x)cos(nx)dx, b_n=f(x)sin(nx)dx, n=0,1,2,...

Определение: Функция наз-ся кусочно-непрерывной на данном отрезке, если этот отрезок можно разбить на конечное число интегралов, в каждом из которых функция непрерывна.

Т-ма Дирихле: Пусть f(x)

1)определена для всех хÎ[-p,p]

2)кусочно-непрерывная на [-p,p]

3)кусочно-монотонная на [-p,p]

4)ограничена на [-p,p], тогда она разложима в тригонометрический ряд Фурье (4). Если точка хÎ[-p,p] и в этой точки f(x) непрерывна, то сумма ряда

S(x)=(a_ncos(nx)+b_nsin(nx))=f(x). Если точка х - точка разрыва, скачок, то S(x)=^1/2 [f(x-0)+f(x+0)]

S(-p)=S(p)=^1/2 [f(p+0)+f(p-0)]

Замечания: 1)поведение функции f за пределами [-p,p] может в корне отличаться от значения S.

2)если мы хотим разложить f на всей действительной оси, то соглас- но (4) мы должны продол- жить пе- риодическим образом с периодом 2p.

Пример: f(x)=x, xÎ[-p,p]