Статистическая идентификация одномерных детерминированных ТОУ

ПО ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМ ДАННЫМ.

1. Планирование объёма эксперимента: количества контролируемых параметров, числа измерений и кратности их повторения;

2. Выбор типа математической модели (уравнения регрессии);

3. Выполнение эксперимента и обработка данных;

4. Определение количественных характеристик (коэффициентов) принятого типа модели;

5. Проверка значимости полученных коэффициентов по влиянию на них разброса результатов экспериментов;

6. Проверка адекватности модели объекту.

Если две последние проверки дают отрицательный результат, то проводится уточнение объёма эксперимента, эксперимент повторяется, уточняется модель объекта.

Рисунок 5. Алгоритм промышленных исследований ТОУ.

РАЗДЕЛ 6.

СТАТИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОДНОМЕРНЫХ И МНОГОМЕРНЫХ ДЕТЕРМЕНИРОВАННЫХ ТОУ

Задача состоит в определении аналитической зависимости у (t) = f [x(t)]между входом x и выходом yодномерного объекта. Полагаем, что при проведении экспериментальных исследованиях случайные помехи отсутствуют, а в экспериментальных данных нет разброса.

Исследование статических характеристик позволяет оценить чувствительность ТОУ ко входным параметрам, выявить управляющие воздействия и определить допустимые значения возмущений, действующих на ТОУ, и которые могут быть компенсированы выбранными управляющими воздействиями.

Для экспериментального определения статических зависимостей у=f(x)применяют активныйи пассивныйметоды исследования.

Активный метод изучения статики предполагает целенаправленное изменение входных параметров по определённой схеме с регистрацией выходной переменной. При проведении активного эксперимента используют момент включения – выключения установок, выключения регуляторов, а также подачу тестовых сигналов:

- возмущение в виде кратковременного импульса; -единичный скачок 10-20 % от номинального значения; - периодическое воздействие; - гармонический сигнал.

Экспериментатор устанавливает минимально возможное по технологическому регламенту значение входной координаты x(t), или x(1). После окончания переходных процессов в ТОУрегистрируется установившееся значение выходной координаты у(t),илиу(1). Затем экспериментатор даёт приращение ∆xвходной координатеx(t), получает новое её значение x(2) = x(1) + ∆x,регистрирует у(2), снова изменяет x(t)на ∆x и т.д. все остальные координаты поддерживаются постоянными. В результате серии опытов получают таблицу соответствий x(i) → y(i), i = 1,2,…,n,где n– число различных уровней входной координаты x(t).По данным таблицы строится график, который аппроксимируется кусочно – линейной зависимостью (уравнением регрессии).

Наиболее часто модель связи между входами и выходами одномерного объекта описывается полиномом вида:

, (1)

где а₀, а₁, …, а_n –коэффициенты уравнения регрессии, подлежащие определению.

При существенном разбросе значений у(t) коэффициенты статической характеристики (1) определяют с помощью метода наименьших квадратов (МНК):

. (2)

Для определения коэффициентов модели а₀, а₁, а₂ дляn=2составляют систему уравнений:

(3)

.

Совместное решение полученных уравнений относительно а_iдаёт значения, удовлетворяющие (2).

Оптимальной считается модель, у которой при определённых расчётом коэффициентах сумма квадратов отклонений расчётных у_р и экспериментальных у_э значений будет минимальной, т.е. минимизируется функционал:

, (4)

где n – число опытов.

На практике используют полином (1) первого или второго порядка. Иногда используют гиперболическую или показательную функции, , если при равных приращениях х величина у растёт примерно в геометрической прогрессии.

Активныйэксперимент применяют в тех случаях, когда уровень помех и флуктуаций входных и выходных координат невысок, а технологический регламент допускает искусственные возмущения.

Пассивныйметод исследования статических зависимостей сводится к регистрации случайных изменений входных координат x₁ (t), x₂ (t), …,имеющих место в нормальном режиме эксплуатации объекта, и соответствующих им флуктуаций выходной координаты у₁ (t). Случайные процессыx₁ (t), x₂ (t), у₁ (t)квантуются во времени и составляется таблица их значений x₁ (i), x₂ (i), у₁ (i); i=1,2,…,n.Для выбора периода квантования требуется знание автокорреляционных функций Rxx(τ)каждой из координат x₁ (t), x₂ (t), у₁ (t).Период квантования всех входных и выходных случайных процессов объекта берётся равным или большим максимальной величины времени затухания переходного процесса в наиболее инерционном канале ТОУ. Общее число наблюдений должно в 10-30 раз превышать число коэффициентов уравнения регрессии.

Следует отметить, что на данном этапе исследования экспериментатор обычно не располагает информацией о статических характеристиках возмущений и автокорреляционных функциях, что снижает достоверность статических характеристик, определяемых пассивным методом.

Далее, используя формулы корреляционного анализа или МНК, можно определить коэффициенты линейной статической зависимости:

, (5)

где:

(6)

,

q=1,2,…

Пассивный эксперимент не требует проведения специальных опытов, а может базироваться на записях в эксплуатационных журналах и показаниях регистрирующих приборов.

Пассивный метод исследования статики применяется в тех случаях, когда технологический регламент не позволяет наносить искусственные возмущения входным координатам или уровень помех и шумов высок по сравнению с величинами допустимых воздействий ∆x₁, ∆x₂, … .