Решение сферического треугольника

Решить сферический треугольник значит по известным элементам найти неизвестные. Сферический треугольник определяется тремя элементами, т.е. по любым трём известным, можно найти три неизвестные; Это сочетание известных элементов сводится к следующим основным вариантом:

а) по трём сторонам;

б) по трём углам;

в) по двум сторонам и углу между ними;

г) по двум угла и стороне между ними;

д) по двум сторонам и углу противолежащему одной из них;

е) по двум углам и стороне, противолежащей одному из них.

Общее число сочетаний (вариантов) для косоугольного треугольника определяется выражением из теории вероятности: С3,6 = 6х5х4/1х2х3 = 20; для прямоугольного: С3,5 = 5х4х3 /1х2х3 = 10

Решают сферические треугольники по формулам сферической тригонометрии (мы их записываем без доказательств);

Наиболее часто используются следующие формулы:

1. формула косинусов стороны;

2. формула синусов;

3. формула пяти элементов ( произведение синуса стороны на косинус прилежащего угла);

4. формула котангенсов четырех элементов;

5. формула косинусов угла;

Формулы косинусов сторон:

cosа= cosb cosс+sinв sinс cosА

cosb= cosа cosс+sinа sinс cosВ (3.1)

cosс= cosb cosа+sinв sinа cosС

-косинус стороны равен произведению косинусов двух других сторон плюс произведение синусов этих сторон , умноженное на косинус угла между ними.

Формула косинусов углов:

cosА=- cosВ cosС+sinВ sinС cosа

cosВ=- cosА cosС+sinа sinС cosb (3.2)

cosС=- cosВ cosА+sinВ sinА cosс

-косинус угла равен произведению косинусов двух других углов со знаком минус плюс произведение синусов этих углов , умноженное на косинус стороны между ними.

Формула синусов:

sinА /sinа=sinВ /sinb =sinС/ sinс (3.3)

− отношение синуса угла к синусу противолежащей стороны одинаково для всех вершин сферического треугольника.

Формулу синусов можно (и удобно ) расписать так:

sin А sinb =sinВ sinа

sinА sinс =sinС sinа (3.4)

sin В sinс =sinС sinb (3.10)

sina×cosB=cosb×sinc-sinb×cosc×cosA (3.5)

- синус стороны, умноженный на косинус прилежащего угла, равен косинусу стороны, противолежащей углу, умноженному на синус третьей стороны, минус произведение синуса второй стороны на косинус третьей стороны и на косинус угла между ними. Остальные пять формул аналогичные (11), можно получить круговой перестановкой элементов треугольника.

Формула четырех элементов (котангенсов):

cosc×cosA=sinc×ctgb-ctgB×sinA (3.6)

- произведение косинуса стороны на косинус прилегающего угла равно произведению синуса той же стороны на котангенс второй прилегающей стороны к первому углу минус произведение котангенса угла противолежащего второй стороне на синус первого угла.

Существуют и другие формулы: аналогии Непера, формулы Борда, Мольвейде и другие [1-3].

Для решения прямоугольных сферических треугольников применяется правило Непера – Модюи:

Косинус какого-либо элемента равен произведению котангенсов смежных с ним элементов или произведению синусов не смежных;

Дополнительные условия :

1. Катеты берутся как дополнение до 90 градусов;

2. Прямой угол не учитывается при определении смежных или несмежных элементов, т.е катеты - смежные элементы (лежащие рядом ) :

сos ( 90 – b ) = sin b = tg c×ctg C ;

cos ( 90 – b ) = sin b = sina×sin B;

сos ( 90 – b ) = ctg ( 90 – c ) ×ctg C; (3.7)

сos ( 90 – b ) = sin a × sin B.