Способ вычисления поверхностного интеграла второго рода.

Пусть требуется вычислить криволинейный интеграл , когда функции непрерывны на поверхности S. Поверхность S задана параметрически: , где функции имеют непрерывные в прямоугольнике частные производные первого порядка, причем . Разобьем прямоугольник значений параметров на прямоугольники , . Соответственно такому разбиению прямоугольника параметров мы получим разбиение поверхности S на фрагменты . Выберем . Тогда на каждом фрагменте мы получим точку . Используем то, что , где – единичный вектор нормали к поверхности в точке . Согласно известной формуле для получения вектора нормали к поверхности, заданной параметрически, получим: – вектор нормали к поверхности S в точке , где знаки + или – выбираются в зависимости от выбора стороны поверхности. Для того, чтобы получить единичный вектор , следует поделить вектор на его длину, равную . Теперь, учитывая, что ,

где , имеем

Переходя к пределу, получим формулу сведения поверхностного интеграла второго рода к двойному интегралу по области значений параметров:

Выбор знаков + или – определяется выбором стороны поверхности.

П р и м е р ы.

1. Вычислить , где S – внешняя сторона эллипсоида .

Р е ш е н и е. Параметризуем уравнение эллипсоида с помощью обобщенных сферических координат: , . Вычислим соответствующие якобианы:

. Чтобы определить, какой знак нужно будет выбрать, обратим внимание на то, что внешняя нормаль к эллипсоиду в тех точках, где , то есть, , имеет положительную проекцию на ось OZ. Это означает, что третья координата вектора нормали при должна быть положительной. В нашем случае при , следовательно, найденные якобианы являются координатами вектора нормали именно к внешней стороне эллипсоида, и менять знак у интеграла не придется. Таким образом,

.

2. Найти поток вектора через сферу .

Р е ш е н и е. Параметризуем поверхность:

Так как , нам для вычисления потока через параметризованную поверхность необходимо подсчитать якобианы, чтобы перейти в интеграле к переменным и . Имеем . Поэтому вычисление потока сводится к вычислению интеграла с применением MAXIMы.

3. Вычислить поток вектора через боковую поверхность цилиндра .