Связь между криволинейным интегралом второго рода вдоль замкнутой кривой на плоскости и двойным интегралом. Формула Грина.

Пусть C – кусочно-гладкая замкнутая кривая, ограничивающая область D. На кривой C задано такое направление, что при движении в этом направлении область D остается слева. Функции и непрерывны в области D вплоть до ее границы, кроме того, функции и также непрерывны в D вплоть до границы. Тогда справедлива формула Грина

. (ФГ)

1. Докажем формулу Грина сначала для случая, когда область D выпукла в направлении координатных осей, то есть, любые прямые, параллельные осям координат и пересекающие область D, пересекают ее границу либо не более, чем в двух точках, либо по отрезку прямой.

Обозначим, как это показано на рисунке, проекции области D на координатные оси и . Запишем уравнения фрагментов кривой C, однозначно проецирующихся на , в виде . Запишем уравнения фрагментов кривой C, однозначно проецирующихся на , в виде .

Сосчитаем сначала интеграл . Представим его в виде суммы криволинейных интегралов по двум фрагментам, однозначно проецирующимся на отрезок . Если на C есть еще и отрезок, параллельный оси OY, то рассматриваемый интеграл по этому отрезку равен нулю, так как . На первом фрагменте мы получим параметризацию причем в соответствии с заданием направления движения параметр должен возрастать, когда мы движемся по этому фрагменту в заданном направлении. На втором фрагменте имеем параметризацию причем параметр убывает, когда мы движемся по второму фрагменту в заданном направлении. Таким образом,

.

Для того, чтобы сосчитать интеграл , разобьем С на фрагменты, однозначно проецирующиеся на отрезок . В случае, когда на C есть отрезок, параллельный OX, то на нем , и значит рассматриваемый интеграл вдоль этого отрезка обращается в ноль. На первом фрагменте введем параметризацию причем при заданном направлении движения параметр должен убывать при проходе по этому фрагменту. На втором фрагменте параметризация и параметр возрастает при проходе по фрагменту в заданном направлении. Следовательно,

.

Суммируя, получим формулу Грина для областей указанного вида.

2. Для доказательства справедливости формулы Грина для области D общего вида разобьем область D на конечное число областей , рассмотренного выше вида проведением прямых, параллельных осям OX и OY.

Границы полученных таким образом областей , состоят из фрагментов кривой C и из отрезков, параллельных координатным осям. Заметим, что при последовательном обходе границ , всех полученных областей , так, чтобы областьнаходилась слева, каждый из отрезков, параллельных координатным осям, образовавшихся при разрезании D, проходится дважды: в ту и в другую стороны. Значит, при вычислении криволинейного интеграла мы получим взаимное уничтожение интегралов вдоль прямолинейных отрезков внутри D.

Следовательно, применяя к каждой из областей , формулу Грина, получим

.