Описание ориентации тела. Направляющие косинусы.
Произвольное движение твердого тела
Ускорения точек твердого тела при произвольном и плоском движении
Дифференцируя основную формулу кинематики твердого тела (4.3)
, получаем формулу для ускорений
.
Производная вектора угловой скорости по времени называется вектором углового ускорения , слагаемое вращательное ускорение точки В вокруг полюса А, - осестремительное ускорение. Таким образом
, где
,(4.6)
.
| A |
| BA |
| A |
| B |
Формулы (4.6) применимы для произвольного движения. Поясним термин «осестремительное ускорение». В теоретической механике линия, проходящая через полюс А параллельно вектору угловой скорости ,называется мгновенной осью вращения. Нетрудно убедиться, что двойное векторное произведение направлено к мгновенной оси вращения под прямым углом, а его модуль равен , где h – расстояние от точки В до мгновенной оси вращения.
В случае плоского движения мгновенная ось вращения на плоском рисунке вырождается в точку- «центр», поэтому во многих учебниках называют «центростремительным» . Векторы угловой скорости и углового ускорения перпендикулярны плоскости движения. Раскрывая двойное векторное произведение, получим
= ,так как .
Как уже говорилось в параграфе (4.1.1), положение твердого тела можно описать вектором положения какой-либо точки А, называемой полюсом, и ориентацией, которую удобно описывать с помощью жестко связанной с телом тройки векторов. Для простоты возьмем ортонормированную тройку векторов, которые в отсчетном положении обозначаются , а в актуальном в момент времени . В качестве отсчетного положения чаще всего удобно взять положение в момент времени , тогда , но иногда в качестве отсчетного удобнее взять положение, которое тело никогда не занимало в прошлом и, возможно, никогда не займет в будущем. Так, например, можно принять, что - орты декартовой системы координат в используемой системе отсчета.
| X |
| Y |
| Z |
Разложим векторы по базису :
(k= 1, 2, 3) (4.7)
Скалярные произведения , равные косинусам углов между , называются направляющими косинусами .
Принимая правило суммирования по повторяющимся индексам, вместо трех строчек (4.7), в каждой из которых три слагаемых, можем написать короткую формулу . (4.8)
При этом принимается соглашение, что по индексам, присутствующим в обеих частях равенства (в данном случае это индекс ) суммирование не производится, а равенство повторяется «k» раз.
Имеется 9 направляющих косинусов, но только 3 из них являются независимыми, поскольку между ними есть 6 уравнений связей , где, напомним, называется символом Кронекера, или
(4.9)
В (4.9) символ «отфильтровал» в двойной сумме по индексам s и m только те слагаемые, у которых s = m.
Знание направляющих косинусов полностью решает задачу описания движения, но выбрать три независимых и аналитически выразить через них остальные шесть невозможно, так как система уравнений (4.9) нелинейная, поэтому в качестве трех параметров, задающих ориентацию тела, обычно используются углы.